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La matematica e i fenomeni controintuitivi

Scritto da Francesca, pubblicato il 15/05/2017 Blog > Sostegno scolastico > Matematica > I Paradossi Matematici Più Utili E Celebri!

Con tutti questi numeri arabi e quelle lettere strane, c’è da perdersi…! La matematica è un po’ il massimo comune divisore (in aritmetica elementare) del curriculum scolastico.

Detto questo, probabilmente ti sarà capitato di invidiare quei geni che prendono la scienza come un gioco.

Per conoscere davvero tutto sulla scienza dei numeri, cerchiamo quindi di seguire le loro orme, alla scoperta dei paradossi matematici, e viaggiamo tra l’aritmetica, la trigonometria e la probabilità.

Vedrai, ti piacerà, e in poco tempo potrai offrire tu stesso lezioni di matematica!

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”Con Superprof, ho potuto trovare degli allievi seri, motivati e con molta voglia di imparare. Consiglio assolutamente Superprof!”

Prova di definizione generale

Non c’è bisogno di avere una laurea per capire di cosa si tratta.

Il termine paradosso si riferisce a una « proposta che, contraddittoriamente, mette in luce un punto di vista prelogico o irrazionale, prendendo in contropiede alcune certezze logiche della verosimiglianza ». Lo studio di questi fenomeni è un intero corso: interattivo, sono una matrice, una pedagogia vettore.

È ovvio che le scienze fisiche nei loro annali contengano molte sorprese da risolvere con questa definizione. Ma ogni insegnante – o studente – sa che esistono paradossi più noti di altri, ma anche più interessanti… o più disponibili. Alcuni potrebbero essere più vicini alla fisica e alla chimica, altri alla scienza e alla tecnologia in generale.

Tralasciando prodotto scalare e altre equazioni differenziali, cerchiamo di sorridere un po’.

Lasciando fuori, per un attimo, il calcolo letterale, prendiamo in considerazione il proverbio cinese che recita: « Tre sorrisi al giorno, tolgono il medico di torno ».  E aggiungiamoci pure « e il superamento degli esami è più semplice ».

La moltiplicazione esponenziale dei problemi matematici sarà in grado di dividere i tuoi errori nella vita reale – sì, sì, te lo assicuro!

I paradossi matematici affascinano letteralmente gli amanti della matematica. Un soggetto affascinante tanto quanto il Pi greco!

I falsi paradossi

Il paradosso di Achille e della tartaruga

Il nome è già sufficiente a stupirci! La sua risoluzione ci riporta direttamente alla favola della lepre e della tartaruga.

Tornando alle nostre tartarughe… Si tratta di una vecchia volpe, che risale a Zenone di Elea (490-430 a.C.). Lasciando un centinaio di metri di vantaggio a una tartaruga, con le conoscenze teoriche dell’epoca, Zenone sosteneva che Achille non avrebbe mai potuto raggiungerla perché la tartaruga avrebbe continuato ad avanzare. Probabilmente questa domanda non ti sarà mai fatta quando discuterai la tua tesi di laurea.

Tutte queste cifre, questi numeri e questi teoremi sono un vero rompicapo, non c'è che dire! Cifre, numeri, teoremi: un vero rompicapo!

Questa asserzione andava, naturalmente, contro il parere comune, ma è soltanto con la matematica moderna che è stata, definitivamente, rifiutata, grazie alla serie, alla risoluzione di equazioni, all’equivalenza grafica o, ancora, all’infinitamente piccolo.

L’enigma del dollaro mancante appartiene allo stesso tipo di ragionamento fallace, ma fa parte degli esercizi matematici senza tempo (oltre ad essere un mezzo per « salare » l’addizione…). Per rivedere il tuo ragionamento logico, è perfetto!

Il paradosso del quadrato mancante

No, non si tratta di un rompicapo cinese! Seguiamo un breve corso di geometria per assurdo.

Si tratta semplicemente di una formulazione matematica plausibile, ma solo sulla base di un’illusione ottica che conduce quindi a…una conclusione altamente improbabile!

Basandoci sul modello di tangram, bisogna ricostruire un triangolo con altre forme geometriche. Esistono diverse soluzioni…tra cui il fatto che rimane un piccolo quadrato vuoto all’interno del triangolo. Tuttavia, è impossibile aver perso gran parte dell’area!

La soluzione: questa componente mancante non che è il prodotto della leggera deformazione del triangolo imperfetto con i lati arrotondati. Era quindi un falso triangolo quello che bisognava riorganizzare! Non occorre aver studiato matematica all’università per accorgersene!

Per rimanere in tema, conosci i più grandi misteri matematici?

Paradossi teorici, ma difficilmente praticabili

Il paradosso di Banach-Tarski

Questo teorema di geometria pura è stato dimostrato nel 1924, sulla base dell’assioma di scelta che contribuisce alla costruzione di insiemi non misurabili. Si riassume grosso modo così: si può tagliare una sfera di spazio ordinario {\ mathbb {R} ^ {3}} in un certo numero (finito) di pezzi, e poi riassemblare questi ultimi per formare due sfere identiche alla prima, a uno spostamento vicino.

È sicuramente curioso. In effetti, una cosa del genere è possibile solo se queste piccole estremità di sfera non sono misurabili (introdurre un volume, per esempio, comporterebbe di fatto una contraddizione). La metodologia richiede ancora qualche dettaglio in più…

Dai, non è tutto: ora ti lascio provare tutto questo nella vita reale!

La geometria planare di Neumann

Nel 1929, John von Neumann fece impazzire i suoi contemporanei.

Anche lui partì dall’assioma di scelta per scomporre un quadrato in un numero (finito) di insiemi di punti. Così, grazie a delle trasformazioni affini che conservavano le loro superfici, riuscì a ottenere… non due sfere, ma due quadrati.

Albert Einstein? Non c'è dubbio, è lui il più grande genio della matematica! Albert Einstein: genio matematico e patrono delle equazioni e degli scienziati pazzi?

Il problema indotto da questo paradosso ha permesso a Laczkovich, nel 2000, di spiegare questa decomposizione all’interno di un’unità quadraa (insiemi delimitati equiscomponibili). Difficile da seguire, per il cervello!

Il paradosso del barbiere

I professori universitari e di scuola superiore lo adorano, perché aiuta a rendere più chiare alcuni concetti agli studenti. Beth, grande esperto di logica, però, ci prega di non dare troppo spazio a questa apparente contraddizione.

Prova a immaginare una comunità in cui il governo centrale richiederebbe a un barbiere di radere tutti gli uomini (e solo loro!) che non si fanno la barba da soli. Il nostro barbiere, anch’egli cittadino dei luoghi, è in guai seri: da un lato, viola la legge se si fa la barba da solo, dal momento che gli è stato richiesto di radere solo chi non lo fa su di sé; dall’altro, se non si cura di tagliare la propria barba, avrà torto, perché doveva radersi la barba lunga quelli …

Si tratta di un buon modo per evidenziare la possibilità di emanare norme assurde, non è vero?

L’antinomia di Russell, appartenente al campo della teoria degli insiemi (o classi) è leggermente differente, e si piazza sul piano teorico: « Nel 1905, Bertrand Russell dimostra che il concetto di « insiemi di insiemi che non sono elementi di loro stessi » è contraddittorio » (Enciclopedia universale, vol. 6, p. 265).

E se la Terra voltasse come un guanto?

Abbandoniamo la topologia differenziale e prendiamo in considerazione quella lineare. Nel 1958, S. Smale formulò la « fuga (o inversione) della sfera ». Di cosa si tratta? Sicuramente di una legge che farà divertire gli studenti di matematica dell’università, ma molto meno quelli della scuola pubblica…

Attraverso i progressi ottenuti dalla computer animation, potremmo evidenziare la possibilità di far fuoriuscire l’interno di una sfera, nel nostro spazio tridimensionale.

Bisognerebbe prendere in considerazione Raoul Bott e fare le pulci a un’omotopia che molto raramente si incontra nella vita di tutti i giorni! Ma chi lo sa se non darebbe un giorno origine a una rivoluzione tecnica?

La controintuizione nel quotidiano

Il paradosso di Simpson

Non c’è molto da fare con i piccoli piccoli personaggi giallastri dotati di astrazione razionale…

L’esperto di statistica Edward Simpson formulò questo paradosso nel 1951. In realtà, si tratta di gruppi apparentemente contraddittori di dati, ma semplicemente perché si basano su criteri diversi .

Esempio: contro tale malattia, la prescrizione A sarebbe più efficace della prescrizione B. Si avverte la causa? No, perché quando la malattia è benigna, il trattamento B è più efficace del trattamento A, quindi i risultati sono comunque migliori in caso di violazione acuta…

Numeri relativi, polinomi, algebra: ecco gli elementi al cuore del nostro studio matematico! Numeri relativi, polinomi, algebra… i dati che animano il nostro studio!

Questo paradosso è possibile solo se esiste una variabile che influenza il risultato, e se il campione statisticamente studiato non è distribuito uniformemente.

Si tratta, quindi, di un invito a spingere le cose fino al fondo, in modo da avere tutte le carte in mano prima di arrivare a qualsiasi decisione.

Condorcet e la sua metodologia elettorale

È frutto del rivoluzionario matematico che porta lo stesso nome. Si tratta di un requisito applicato al sistema elettivo, chi vorrebbe che se deve essere un vincitore legittima a seguito di una votazione, ancora sarà unico che, di fronte a loro volta a ciascuno dei suoi concorrenti, la loro sarà preferito da elezioni.

Al contrario, è un esempio di ciò che una pluralità di voti dà spesso risultati diversi o contrario alla volontà effettiva dell’elettorato. In breve, a seconda di come il voto si svolge, il risultato sarà influenzato …

E ‘certamente un bene che una voce di questo principio nella Costituzione renderebbe quasi impossibile alle istituzioni … Ma forse sarebbe la pena di essere provato?

Gli scienziati hanno utilizzato la matematica per determinare il ruolo primario di Game of Thrones. Pensi che si siano serviti di Condorcet e della sua metodologia elettorale?

Rogers, che fenomeno!

La formulazione di questo processo matematico è semplice. In presenza di due insiemi, spostando un elemento da uno all’altro, può accadere che la media di ciascuno di questi due gruppi…aumenti!

Ma sono necessarie due condizioni perché possa avvenire questa sorpresa numerica: il numero spostato deve essere inferiore rispetto alla media del suo insieme originario e superiore a quella del suo insieme di destinazione.

Vedi, non si tratta sempre di storie complesse di funzioni deliranti! Se sei iscritto a una facoltà scientifica, questi casi limite sono a portata di mano!

Avere a disposizione un insegnante privato è il modo migliore per non restare indietro! Il supporto accademico, un buon modo per invertire il processo di disuguaglianza!

In breve, tra i problemi falsi e quelli reali, c’è davvero di che divertirsi! E per mettere alla prova i tuoi compagni…Dalla teoria all’impraticabile, è solo un passo.

Sarai in grado di bluffare il tuo insegnante di matematica o i tuoi compagni di classe!

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