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Fattorizzare e capire meglio i numeri complessi

Scritto da Catia, pubblicato il 28/03/2017 Blog > Sostegno scolastico > Matematica > Come si Risolve un’Equazione Matematica?

La matematica spesso è vista come una materia complessa, temuta da molti studenti…e molti adulti!

Eppure, questa disciplina un po’ bistrattata fa parte delle conoscenze fondamentali da avere se si vuole andare bene a scuola.

Almeno fino al diploma, non potrai sfuggire alla risoluzione di problemi matematici.

E più in là, nell’insegnamento universitario, le tue nozioni di matematica ti permetteranno di adottare un certo rigore analitico e una capacità di sintesi che migliorerà anche l’efficienza della tua memoria.

Ogni bambino oltre a saper leggere e scrivere deve saper fare di calcolo, quindi la matematica è essenziale. La matematica è tra le materie fondamentali fin dalle elementari!

Mentre su Youtube fioccano video tutorial su come insegnare la matematica ai bambini, per i più grandicelli è il momento di riappacificarsi con la materia ripartendo dalle basi: le equazioni.

Con una calcolatrice e molta motivazione puoi scoprire come risolvere un’equazione. In questo modo, tra l’altro, potrai rapportarti con la matematica con più serenità.

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Che cos’è un’equazione?

In matematica, così come nelle altre materie, bisogna capire il significato dei termini che si usano.

Il tuo insegnante te l’avrà detto di sicuro: conoscere il vocabolario matematico è essenziale se si vuole migliorare.

Ecco perché prima di fare un’equazione matematica devi conoscerne la definizione.

Secondo il dizionario Garzanti, un’equazione « è l’uguaglianza tra due espressioni verificata solo per particolari valori attribuiti alle variabili che in essa compaiono… »

Da questa definizione piuttosto generica compaiono i termini valori e variabili. Sono termini che non ti lasceranno fino alla risoluzione della tua equazione.

Se vogliamo usare una definizione più matematica, possiamo dire che un’equazione è l’uguaglianza tra due espressioni algebriche che contengono una o più incognite, che possono essere verificate da uno o più valori.

Costruisci il tuo vocabolario matematico imparando le definizioni dei termini usati. Per andare bene in matematica, bisogna capirne la terminologia…e impararla!

Se anche questa definizione risulta troppo astratta per te, forse potrebbe aiutarti quella data durante una lezioni di matematica in prima media. « un’equazione è un’uguaglianza che presenta una variabile (spesso chiamata x), che serve a risolvere dei problemi« .

Ora hai tutti gli elementi per capire cos’è un’equazione:

  • uguaglianza tra due espressioni algebriche
  • una o più incognite da trovare
  • una variabile chiamata x
  • utilità alla risoluzione dei problemi

Che si tratti di un’equazione di secondo grado (formula ridotta), di un’equazione con una incognita o di un’equazione differenziale, devi sempre essere capace di risolvere il problema (e fattorizzare).

Le competenze da avere per risolvere le equazioni

Riuscire a risolvere un’equazione richiede certe competenze che riguardano l’apprendimento della matematica e a quel famoso « spirito matematico » che bisogna acquisire durante il proprio corso di studi.

Lo spirito matematico

La reticenza che provano molti studenti è legata al fatto che spesso non riescono a vedere l’utilità della matematica nella loro vita quotidiana.

In realtà, la matematica fa parte integrante della nostra vita quotidiana, anche se non ce ne rendiamo conto.

Dalla cucina, all’acquisto di una casa, da quando si seguono le lezioni a quando si fanno i compiti, la materia è onnipresente.

Il tuo professore di matematica a scuola o il tuo insegnante privato ti trasmettono delle competenze che ti serviranno per tutta la vita.

Quanto allo spirito matematico, è fondamentale per risolvere un’equazione senza fare errori e si può riassumere in:

  1. Rigore

E’ necessario essere rigorosi quando si fa matematica, e in particolare quando si tratta di equazioni. Quando ti trovi di fronte ai tuoi esercizi di matematica o una verifica, devi essere preciso e ragionare con logica.

2. Memoria

I matematici fanno lavorare la loro memoria. Allenandoti regolarmente sarai capace di ricollegare le lezioni di matematica e metterle in pratica per risolvere l’equazione che hai davanti. Puoi ricordare equazioni già risolte che assomigliano a quelle che devi fare.

3. Organizzazione

Fare un’equazione necessita di un ragionamento a tappe. L’organizzazione dei compiti e del tuo ambiente di lavoro ti permetterà di fare gli esercizi con una certa serenità. Non devi mai perdere la concentrazione.

Quand’è che si s’impara a fare le equazioni?

Durante la scuola primaria non solo i bambini imparano a contare, ma imparano anche a familiarizzare con il calcolo mentale.

Si comincia con le addizioni, poi le sottrazioni e le moltiplicazioni.

Questi insegnamenti elementari consentono di avere delle basi matematiche.

Il primo approccio con la matematica avviene con le operazioni alle elementari, ma crescendo gli argomenti diventano sempre più complessi. Alle medie le equazioni cominciano a essere più complicate!

Le equazioni fanno la loro prima comparsa alle medie.

In seconda media, s’impara a risolvere le equazioni facendo dei calcoli letterali. Si scoprono le equazioni attraverso le famose « espressioni letterali » che sono delle formule matematiche dove ci sono anche lettere dell’alfabeto.

Ecco un esempio di equazione proposta in seconda media: 7x+5=3x-15

Bisogna trovare l’incognita (x).

In terza media e al primo anno delle superiori, si studiano le frazioni e i numeri negativi per preparare gli studenti agli esami di maturità.

Nei compiti in classe di matematica le equazioni possono assumere questa forma:

(8x-6)/9-(-10x-6)/6=(x-5)/4

Al liceo il livello di matematica è più alto e si trattano equazioni più complesse.

Quindi le equazioni non scompariranno dal programma di matematica del liceo, soprattutto per quelli che scelgono il liceo scientifico e che intendono continuare a studiare questa materia anche all’università.

Risolvere un’equazione di primo grado

Le equazioni di primo grado sembrano le più semplici da risolvere. Infatti, trovare una soluzione per un’equazione di primo grado implica solo quattro tipi di calcolo: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione.

Se devi risolvere un’equazione di primo grado con una incognita il tuo obiettivo è semplice: devi trovare il valore di x (la famosa incognita).

Per un’equazione semplice si può procedere per tappe:

  • isolare l’incognita
  • raggruppare i termini
  • dividere
  • concludere con la soluzione, generalmente denominata S

Per esempio, con questa equazione (3x-5=-x+2), il procedimento è il seguente:

3x+x=5+2 (qui l’incognita è stata isolata)

4x=7 (i termini sono stati raggruppati)

x=7/4 (divisione per 4)

Quindi S=7/4

Ormai puoi provare a risolvere la più celebre equazione di primo grado della storia della matematica: l’epitaffio sulla tomba del matematico Diofanto d’Alessandria.

Risale al III secolo e ti permette di determinare la sua età.

Trovare la soluzione per un’equazione prodotto

Un’equazione prodotto è un’equazione di secondo grado.

Concretamente, un’equazione prodotto prende la seguente forma: (ax+b)(cx+d)=0. L’incognita è sempre x, mentre a, b, c e d sono fattori fissi dati dall’esercizio.

La soluzione alle equazioni è facile da trovare se si ripassano le nozioni apprese durante le lezioni di matematica. Ripassare le lezioni di matematica ed esercitarsi: ecco la chiave per le equazioni!

Quando segui delle lezioni di matematica su questo tipo di equazione il tuo insegnante ti spiega una regola fondamentale per la risoluzione: il prodotto dei fattori è pari a zero se almeno uno dei fattori è zero. 

Quindi, dovrai risolvere tante equazioni quanto il numero dei fattori!

Non te lo ripeterò mai abbastanza: il modo migliore per imparare è esercitarsi. Ecco quindi un’esempio di equazione prodotto con la sua soluzione.

(3x+4) x (2x-5)=0

I due fattori corrispondono ai due gruppi d’equazione tra parentesi. Bisogna risolvere entrambe.

  • 3x+4=0

   3x=-4

   x=-4/3

  • 2x-5=0

   2x=5

   x=5/2

 Questa equazione ha due soluzioni: -4/3 e 5/2.

Il caso delle equazioni frazionarie

Un’equazione frazionaria si fonda su un teorema: ogni frazione è pari a zero solo se il numeratore è zero e il denominatore è diverso da zero.

Se hai di fronte un’equazione con una frazione il tuo esercizio avrà questa forma: f(x)/g(x)=0.

Per risolvere un’equazione con una frazione, devi:

  • escludere i valori che annullerebbero il denominatore
  • ridurre i termini allo stesso denominatore
  • trasportare le incognite al primo membro e mettere che è uguale a zero
  • risolvere l’equazione
  • verificare che i valori ottenuti non annullino l’equazione

Ecco un esempio di risoluzione di un’equazione frazionaria utilizzando la moltiplicazione incrociata: x/x+1=x-1/x+2

x(x+2)=(x-1)

(x+1)x(x+2)-(x-1)(x+1)=0

x²+2x-(x²-1)=0

x²+2x-x²+1=0

2x+1=0

x=-(1/2)

Non si tratta di un valore nullo, quindi la soluzione è  S=-(1/2).

Scrivere un problema sotto forma di equazione

Durante le lezioni di matematica, le verifiche o una prova d’esame può essere richiesto di scrivere un problema sotto forma di equazione.

Puoi trovare la soluzione a un problema geometrico se sai come risolvere le equazioni. Anche in geometria puoi usare le equazioni per risolvere un problema!

Il metodo è semplice e, di nuovo, deve essere seguito rigorosamente se vuoi essere sicuro di dare la risposta giusta:

  • leggere più volte l’enunciato per capire bene cosa ti viene chiesto
  • determinare l’incognita (o le incognite) che generalmente corrispondono al numero richiesto nella domanda posta dal problema
  • semplificare il testo e tradurlo in linguaggio matematico
  • risolvere l’equazione ottenuta
  • verificare il risultato più volte
  • scrivere la risposta alla domanda

In alcuni casi si può trattare di un problema geometrico.

La procedura è la stessa, dovrai semplicemente fare uno schema aggiuntivo usando le tue conoscenze geometriche.

Ecco un tipico esempio di problema che può essere scritto sotto forma di equazione:

Tre cugini, Giovanni, Andrea e Luca hanno in tutto 60 anni. Qual è l’età di ognuno, sapendo che Luca ha tre volte l’età di Andrea e che Giovanni ha 10 anni meno di Luca?

In questo problema da risolvere l’incognita da trovare con l’aiuto delle equazioni è la rispettiva età dei tre cugini.

Ci sono diverse soluzioni se vuoi perfezionarti in matematica e approfondire in maniera duratura le competenze in fatto di equazioni.

I corsi privati di matematica con un insegnante a domicilio ti aiuteranno a migliorare. Potrai imparare a risolvere le equazioni seguendo i tuoi ritmi e usando una metodologia ludica e interattiva.

Ripassare regolarmente facendo degli schemi riassuntivi o seguendo lezioni di matematica online su Youtube, insieme ai tuoi corsi privati di matematica, ti aiuterà a fare progressi in matematica!

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