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Studiare le variazioni di una funzione e disegnare un grafico

Scritto da Catia, pubblicato il 31/03/2017 Blog > Sostegno scolastico > Matematica > Come Tracciare una Funzione?

Agli esami di maturità che includono la matematica, capita spesso che la prova riguardi le funzioni.

I problemi possono riguardare le funzioni polinomiali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche.

Lo studio delle funzioni consiste nell’analizzare le sue variazioni e i suoi limiti, cercare i suoi estremi, a trovare gli asintoti, se esistono, e infine a rappresentarle.

Studiare le variazioni di una funzione quindi è una domanda tipo che ricorre spesso durante la prova di matematica.

Esiste un metodo matematico generale per studiare le variazioni di una data funzione in un intervallo I, tracciare le variazioni e il grafico.

Ovviamente puoi usare queste informazioni anche per le tue lezioni di matematica.

Prendiamo ad esempio la seguente funzione f(x):

f(x)=x³+3²-9x+6

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La funzione derivata

La funzione f(x) è una funzione polinomiale formata dalla somma di 3 termini della formula axn (a e n sono numeri interi naturali) e una costante. Sapendo che la derivata di axn è del tipo anxn-1 e che la derivata di una costante è zero, la derivata di f(x) è:

f'(x)=3x²+6x-9.

Fattorizzare la derivata di f, se possibile

Lo scopo di questa fase è fattorizzare la derivata della funzione f(x) per poterla esprime sotto forma di prodotto o quoziente di un’espressione. La fattorizzazione è una tappa chiave da non dimenticare perché rende molto più facile lo studio del segno della funzione f'(x).

Sì la fattorizzazione, è come risolvere un enigma matematico durante una lezione di tale materia.

Possiamo prendere 3 come fattore e scrivere: f'(x)=3(x²+2x-3).

x²+2x-3 è un trinomio di secondo grado che ha la forma ax²+bx+c dove a,b, e c sono numeri reali. Per fattorizzare questo trinomio bisogna innanzitutto calcolare il discriminante e trovare le radici di x1 e x2.

= b2 -4ac = 22 -4×1×-3 = 4+12 = 16

Si può allora calcolare la radice con la seguente formula:

x1=-3

x2=1

Si noti che il discriminante è positivo (e allora le due radici esistono), il trinomio può essere scritto sotto la forma fattorizzata (x-x1)(x-x2), che vuol dire x²+2x-3=(x-(-3)) (x-1)=(x+3)(x-1).

La derivata della funzione si scrive nella seguente forma fattorizzata:

f'(x)03(x+3)(x-1)

Studiare il segno di f'(x) su un’intervallo I

Il numero 3 è positivo quindi il segno di f’8x) è identico al segno di (x+3)(x-1).

Risolviamo la seguente disequazione:

x + 3 > 0 => x > -3, quindi il binomio x+3 è positivo se x è superiore a -3, è nullo se x è uguale a -3, ed è negativo se x  inferiore a -3.

x – 1 > 0 => x > 1, allo stesso modo il binomio x-1 è positivo se x è superiore a -1, è pari a zero se x è uguale a 1 ed è negativo se x è inferiore a 1.

Il grafico del segno della derivata f'(x) è rappresentato qui sotto:

x– ∞                                 -3                                     1+∞
x + 3                 –                         0               +                                           +
x – 1                 –                                             –                   0                     +
f'(x)               +                         0                 –                   0                     +

Si noti che avremmo potuto determinare il segno del trinomio x²+2x-3 usando anche un altro metodo.

Infatti, quando il discriminante è positivo, il trinomio ax²+bx+c assume un segno contrario ad a nell’intervallo compresso tra le due radici  x1 e xe lo stesso segno di a in caso contrario.

E dopo questa spiegazione, scopri come risolvere gli altri problemi matematici!

Tracciare la curva delle variazioni di f su un intervallo

Si trovi la derivata di f per ogni intervallo J:

– se f'(x)>0 per ogni x che appartiene a J, f è crescente,

– se f'(x)<0 per ogni valore di x appartenente a J, f è decrescente.

L’andamento della curva è la rappresentazione schematica delle direzioni che prende la curva sull’asse delle ascisse e delle ordinate.

L’andamento della variazione di f è come segue:

x-∞                                           -3                                       1+∞
f(x)                                                   33                                                                                +∞-∞                                                                                        1

Si noti che f(-3)=33 e f(1)=1

Calcoliamo i limiti della funzione:

= = +∞

= = -∞ (un numero negativo soggetto a una potenza dispari, rimane negativo)

Dalla tabella delle variazioni di f, si nota che questa funzione raggiunge il massimo nel punto A (-3;33) e un minimo nel punto B (1;1).

Se ti interessa questo argomento, approfondisci anche la conoscenza delle equazioni in matematica!

Tracciare la funzione su un intervallo definito

Per tracciare il grafico che rappresenta questa funzione, basta posizionare il suo massimo e il suo minimo sul piano cartesiano e fare una tabella che ci aiuti a posizionare qualche altro punto preciso:

xf (x)
-51
-228
-117
06
5161

Ed ecco la nostra famosa curva:

Per tracciare il grafico di una funzione oltre ai valori massimo e minimo avremo bisogno di calcolare altri punti. La variazione di una funzione!

La matematica e l’arte spesso sono legate, solo che una curva matematica è tutto tranne che artistica!

Fai attenzione a mettere i dati sul punto giusto del piano.

LA tabella delle variazioni di una funzione serve a trovare facilmente gli asintoti. In genere si trovano con lo studio del segno della derivata.

Durante i corsi di matematica gli allievi si esercitano su tabelle che non rappresentano l’intera funzione, ma solo una una parte.

D’altronde, se una funzione si ripete all’infinito, non si può fare altrimenti.

In questo caso, le funzioni sono dette periodiche.

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