Il cerchio è una figura piana che nella geometria e nella nostra vita in generale occupa uno spazio centrale. Le cose che ci piacciono di più hanno la forma circolare: la pizza, la palla, i biscotti, l’orologio e così via. Prova a pensare a tutti gli oggetti che usiamo e vediamo quotidianamente e troverai un elenco lunghissimo di cerchi.
Per la geometria, la branca della matematica che misura le forme intorno a noi, il cerchio è una figura geometrica con delle caratteristiche specifiche. In questo articolo, vedremo come si disegna un cerchio, cos’è un cerchio, qual è la definizione di circonferenza, come si calcola l’area di un cerchio.
Circonferenza e cerchio: definizioni
Partiamo dal disegno di un cerchio, che è molto semplice da fare con l’aiuto del compasso, uno strumento usato dai Greci fin dall’antichità e perfezionato da Galileo Galilei.
Con la matita, traccia un punto O sul foglio. Apri il compasso, poggia la punta sul punto O e inizia a disegnare una linea chiusa.
Questa linea curva chiusa formata da punti che hanno la stessa distanza dal centro che abbiamo chiamato O si chiama circonferenza.
Il cerchio è una figura geometrica piana caratterizzata dalla presenza di una circonferenza che la delimita. Si tratta di un'unica linea curva che racchiude lo spazio tra il centro e la circonferenza stessa. A differenza dei poligoni, il cerchio non possiede segmenti rettilinei, rendendolo una forma geometrica particolare e distintiva. Mentre i poligoni sono costituiti da linee rette, il cerchio è una figura geometrica piana con un contorno chiamato circonferenza. Questa caratteristica lo rende differente dai poligoni, che devono per forza possedere lati rettilinei.
Se cerchi un altro modo facile per disegnare un cerchio, prendi un oggetto a forma circolare in casa: un bicchiere, una scodella rovesciata, il tappo della colla stick, una moneta, orecchini a cerchio e così via.
Divertiti a disegnare tanti cerchi colorati di diverse dimensioni, poi tagliali e incollali su uno sfondo nero, anche sovrapponendoli. Sicuramente, il risultato sarà un capolavoro, come i quadri di Kandinskij.
La circonferenza del cerchio e le sue caratteristiche
Le lezioni di mate sulla circonferenza ci parlano di una linea curva chiusa formata dai punti del piano che hanno la stessa distanza da un punto fisso detto centro.
Ora vediamo quali sono gli elementi di questa circonferenza.
Il raggio
Il raggio è il segmento che unisce il centro con uno dei punti qualsiasi della circonferenza.
Pensa a un orologio, e pensa al raggio come se fosse una lancetta che parte dal centro e arriva sui punti della circonferenza.
Il raggio si indica con la lettera r e in base alle informazioni di cui di dispone può essere calcolato nei seguenti modi:
- Se si conosce il diametro: Se il diametro del cerchio è noto, semplicemente dividilo per 2 per trovare il raggio. La formula è quindi r = d/2
- Se si conosce la circonferenza: se hai la circonferenza, che è la che è la lunghezza totale del bordo del cerchio, puoi calcolare il raggio usando la formula: r = c / (2 * π)
- Se si conosce l'area: Quando l'area del cerchio è nota, il raggio può essere trovato usando la formula: r = √(A / π)
Ogni metodo fornisce un modo affidabile per calcolare il raggio, assicurando chiarezza sia che tu stia gestendo compiti di geometria di base o coinvolto in calcoli matematici più complessi.
La corda
La corda è un segmento che unisce due punti qualsiasi della circonferenza, anche senza passare per il centro.
Il diametro
Il diametro, che possiamo chiamare d, è la corda che passa per il centro e misura il doppio del raggio.
Pensa al diametro come a quella corda che divide un’anguria in due parti uguali.
L’arco
L’arco è quella parte di linea compresa tra due punti della circonferenza.
A guardarlo bene, l’arco è una parte della circonferenza che ha proprio la forma dell’arco con le frecce.
Da questi elementi della circonferenza possiamo ricavare due formule a partire dalle definizioni di raggio e diametro. Abbiamo detto che il diametro è il doppio del raggio, quindi il diametro è uguale al raggio per due:
d = r x 2
La formula inversa è che il raggio è uguale al diametro diviso due. Ecco come si trova il raggio del cerchio:
r = d : 2
Le parti del cerchio
Abbiamo visto che il cerchio è quella parte di piano delimitata da una linea curva chiusa detta circonferenza. Ora vediamo quali sono le parti del cerchio.
Il semicerchio
Abbiamo visto che il diametro è quella corda che passa per il centro e divide la circonferenza in due parti uguali che si chiamano semicirconferenze. La parte di cerchio racchiusa tra il diametro e la semicirconferenza si chiama semicerchio.
Il goniometro è uno strumento molto usato in geometria e può avere la forma di un cerchio o di un semicerchio.
Il segmento circolare
Il segmento circolare è quella parte ci cerchio racchiusa tra una corda e un arco. Ricordati che la corda è un segmento che unisce due punti della circonferenza, mentre l’arco è una parte della circonferenza tra due punti.
Ti è mai capitato di disegnare un pirata? Puoi fare un cerchio per il viso e tracciare un segmento circolare da colorare come bandana.
Il settore circolare
Il settore circolare è quella parte di cerchio racchiusa tra due raggi e un arco.
È come se i raggi fossero le lancette di un orologio che indicano due punti della circonferenza. Per capire meglio, il segmento circolare è come se fosse una fetta di pizza.
La corona circolare
La corona circolare è una parte di cerchio delimitata da due circonferenza concentriche, ossia che hanno lo stesso centro.
A partire dal punto fisso O, disegna un cerchio con il compasso, aprendolo di 5 cm. Dallo stesso centro chiudi leggermente il compasso ottenendo un raggio di 3 cm e disegna un altro centro.
Avrai ottenuto una corona circolare che assomiglia molto a una ciambella, sia quella che si mangia sia quella che usi d’estate al mare.
La formula della circonferenza del cerchio
A differenza dei poligoni, che sono figure piane formate da linee spezzate, i cerchi sono figure piane formate da una linea curva.
Proprio come si fa per le figure geometriche solide, dobbiamo cercare di semplificare la circonferenza per poterla misurare.
Per farlo, in questa nostra ripetizione matematica online, abbiamo bisogno di trasformarla in una linea retta. A questo proposito abbiamo bisogno del diametro che abbiamo capito essere il doppio del raggio.
Il diametro è quella corda che passa per il centro della circonferenza e lo possiamo misurare con il righello.
Allora tracciamo un cerchio con un raggio di 5 cm. Il diametro sappiamo che è il doppio del raggio quindi:
d = 5 x 2 = 10 cm
La circonferenza, invece, è tonda e per misurarla possiamo usare un filo di lana colorato. Taglia il filo di lana colorato sufficiente per coprire la circonferenza e attaccalo sul foglio, formano una linea retta. Usiamo un altro filo colorato che misura quanto il diametro, quindi 10 cm e vediamo quante volte il diametro sta sulla circonferenza.
Il risultato sarà che il diametro sta 3 volte e un pezzettino sulla circonferenza e questo succede per qualsiasi tipo di cerchio. La circonferenza diviso il diametro è sempre lo stesso numero. Questa in matematica è una delle costanti più note e si chiama pi greco, π.
Il π è il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro e la sua formula è:
π = circonferenza : diametro = 3,14
Il diametro del cerchio che abbiamo disegnato, quindi, entra nella circonferenza per 3,14 volte.
Quindi possiamo avere la formula della misura della circonferenza:
Circonferenza = diametro x 3,14
Allo stesso modo, se conosciamo la misura della circonferenza e vogliamo trovare il suo diametro, dobbiamo ricordarci che il loro rapporto (l’uno diviso l’altro) è costante ed è parti a 3,14.
La formula del diametro del cerchio quindi è:
d = C : 3,14
Se invece del diametro avessimo il raggio?
Puoi moltiplicare il raggio per due e usare il pi greco per ottenere la circonferenza. Oppure puoi moltiplicare la costante per due (3,14 x 2).
C = r x 6,28
La formula del raggio del cerchio è:
r = C : 6,28
Ecco come si calcola il raggio di un cerchio conoscendo la circonferenza.
Come si calcola l’area del cerchio
L’area del cerchio è quella parte di piano che occupa il cerchio. Possiamo ricavarla immaginando di trasformare il cerchio in un poligono.
Qualsiasi poligono può essere inscritto in un cerchio, a partire dal triangolo al quadrato e così via. Più lati ha il poligono inscritto nel cerchio più l’apotema del poligono si avvicina alla dimensione del raggio.
Il poligono regolare più grande che possiamo immaginare è un dodecagono, con dodici lati uguali, ma in realtà possiamo creare un numero infinito di lati ed è così che otteniamo il cerchio.
L’area di un poligono è data dal perimetro per l’apotema diviso due:
A = (P x a) : 2
Per il cerchio, il perimetro è la circonferenza e l’apotema è il raggio, quindi l’area di un cerchio è uguale alla circonferenza per il raggio diviso due:
A = (C x r) : 2
Possiamo calcolare l’area del cerchio anche usando il pi greco.
Se dividiamo il cerchio in quattro quadrati, l’area del cerchio è uguale all’area di tre quadrati più un pezzettino.
L’area del quadrato, che ha per lato il raggio del cerchio è uguale a raggio per raggio.
Quindi l’area del cerchio è uguale a:
A = r x r x 3,14 o, per dirla con termini più matematici: A = πr².
Inversamente, per calcolare il raggio di un cerchio a partire dalla sua area, dovrai:
- Comprendere la formula: l'area di un cerchio (A) è π volte il quadrato del suo raggio (r). Come abbiamo appena visto, questo si riassume con la formula A = πr².
- Riarrangia la formula: Per trovare il raggio, devi rigirare questa formula. La formula modificata sarà la seguente: r² = A/π.
- Calcola il raggio: prendi l'area del cerchio e dividi per 3,14. Otterrai così il raggio al quadrato.
- Estrai la radice quadrata: Infine, per trovare il raggio, prendi il quadrato appena calcolato e trova la sua radice quadrata.
Per trovare il raggio di un cerchio data l'area A=78,52A=78,52, utilizziamo la formula dell'area del cerchio:
A=πr2
Dove A è l'area e r è il raggio. Prima calcoliamo l'area:
A = 78,52 = 6162,25
Ora sostituiamo l'area nella formula:
6162,25 = πr2
Ora giriamo la formula per trovare il raggio:
r2 = 6162,25π
r ≈ 44,3
Quindi, il raggio del cerchio in questo esempio è approssimativamente pari a 44,3
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