Il tre è un numero ricorrente nel triangolo, una figura geometrica piana, facile da disegnare e riconoscere. Se semplifichiamo la forma degli oggetti che abbiamo intorno a noi, riusciremo a vedere tanti triangoli: la forma del cono del gelato, la chioma di un abete, il tetto di una casa, il triangolo stradale che rappresenta i bambini che escono da scuola.
I triangoli sono tra le prime figure geometriche che i bambini imparano a riconoscere e disegnare alla scuola d’infanzia.
Alla scuola primaria è il momento di imparare a calcolare il perimetro e l’area oltre a classificare i triangoli. Le nostre lezioni di mate sono qui per questo.
Triangolo: definizione, classificazione e proprietà
Il triangolo è una figura geometrica piana chiusa formato da tre rette che si incontrano e formano tre angoli, tre vertici e tre lati. Questo poligono può essere classificato a seconda dei lati e degli angoli che lo compongono.
Triangolo: classificazione per lati e angoli
Le nostre lezioni di matematica continuano con il triangolo equilatero: un poligono regolare che ha tre lati e tre angoli uguali. Ogni angolo del triangolo equilatero misura 60°.
Il triangolo isoscele ha due lati congruenti e uno diverso.
Il triangolo scaleno ha tutti e tre i lati e gli angoli diversi.
Se classifichiamo i triangoli in base agli angoli abbiamo il triangolo rettangolo, acutangolo e ottusangolo:
- Il triangolo rettangolo ha un angolo retto, che misura quindi 90°.
- Il triangolo acutangolo ha tutti e tre gli angoli acuti, quindi minori di 90°.
- Il triangolo ottusangolo ha un angolo ottuso, quindi maggiore di 90°, mentre gli altri due sono necessariamente acuti.
In un triangolo rettangolo il lato opposto all’angolo retto si chiama ipotenusa, mentre i lati che formano l’angolo retto si chiamano cateti.
Qual è l’altezza dei triangoli?
L’altezza (h) in un triangolo è un segmento che parte dal vertice e cade perpendicolarmente su un lato opposto che si chiama base. Qualsiasi lato può essere scelto come base. Quindi, un triangolo può avere tre altezze che si incontrano tra loro in un punto che viene chiamato ortocentro.
L’altezza di un triangolo può essere interna o esterna. L’altezza interna coincide con un lato, come nel caso del triangolo rettangolo, e cade sulla base. In un triangolo equilatero l’altezza divide la base in due parti uguali.
L’altezza è esterna se cade sul prolungamento della base, come nel caso di un triangolo scaleno.
Se vuoi disegnare l’altezza di un triangolo, usa l’angolo retto di una squadra e traccia un segmento che da un vertice cade perpendicolarmente sul lato opposto.
Quali sono le proprietà di un triangolo?
Il triangolo ha diverse proprietà, ma se sei alla scuola primaria, queste sono le più importanti da tenere a mente.
- La somma degli angoli interni di un triangolo è di 180°, quindi è pari a un angolo piatto.
- La somma degli angoli esterni è un angolo giro, pari a 360°.
- La somma di un angolo interno e dell’angolo esterno adiacente a esso è di 180°.
- Ogni angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti a esso.
- Se un triangolo ha due lati disuguali anche gli angoli opposti sono disuguali.
- Ogni lato è minore della somma degli altri due lati.
- Ogni lato è maggiore della differenza degli altri due lati.
Come si calcola il perimetro di un triangolo (e le formule inverse)
Il perimetro di un triangolo si calcola facendo la somma della misura dei suoi lati.
P = l1 + l2 + l3
In un triangolo equilatero i lati sono tutti uguali, quindi P = l x 3
In un triangolo isoscele due lati sono uguali, quindi P = l1 + (l2 x 2)
In un triangolo scaleno P = l1 + l2 + l3
Da queste formule base possiamo trovare anche le formule inverse. Per esempio, se conosciamo il perimetro e vogliamo sapere quanto misura ogni lato di un triangolo equilatero, basta usare questa formula inversa:
l = P : 3
In un triangolo isoscele le formule inverse sono:
l1 = P – (l2 x2)
l2 = (P – l1) : 2
In un triangolo scaleno ecco come si calcola ogni lato:
l1 = P – (l2 + l3)
Come si calcola l’area di un triangolo
Per calcolare l’area di un triangolo, immaginiamo di trasformarlo in un rettangolo, unendolo a un altro triangolo identico, che ha per base, la base dei due triangoli e la stessa altezza.
L’area sarà come l’area del rettangolo, ma la divideremo per due per ottenere l’area di un singolo triangolo da cui è composto.
La formula dell'area di un triangolo è:
A = (b x h) : 2
Possiamo ricavare facilmente le formule inverse, e ricavare la base, a partire dall’area e dall’altezza, e l’altezza a partire dall’area e dalla base.
Ecco la formula inversa della base di un triangolo:
b = (A x 2) : h
Questa è la formula dell’altezza di un triangolo:
h = (A x 2) : b
I punti notevoli di un triangolo: mediana, baricentro e ortocentro
I punti notevoli di un triangolo si ottengono disegnando una serie di segmenti che partono dal vertice e arrivano alla base opposta e sono: la mediana, il baricentro e l’ortocentro.
Ecco come trovare i punti notevoli di un triangolo.
La mediana e il baricentro
Per trovare la mediana di un triangolo, disegniamo un triangolo ABC e troviamo per ogni lato, AB, BC e CA il punto medio.
Ricordati che il punto medio è un punto che divide il segmento in due parti uguali.
Colleghiamo il punto medio di ogni lato con il vertice successivo e otteniamo la mediana di quel lato.
La mediana in un triangolo è il segmento che unisce il vertice con il punto medio del lato opposto. La mediana relativa a un lato divide il triangolo in due triangoli equivalenti. Ogni triangolo ha tre mediane che si incontrano in un punto chiamato baricentro.
Il baricentro è sempre interno a un triangolo e divide ciascuna mediana in due segmenti. Il segmento maggiore ha per estremo il vertice del triangolo ed è il doppio dell’altro segmento che ha per estremo il baricentro.
L’ortocentro di un triangolo
Un latro punto notevole di un triangolo è l’ortocentro. Per trovarlo, dobbiamo tracciare le altezze del triangolo.
Ricordati che l’altezza del triangolo è il segmento che congiunge perpendicolarmente il vertice con il lato opposto. I triangoli hanno tre altezze e queste si incontrano in un punto chiamato ortocentro.
Le proprietà dell’ortocentro dipendono dal tipo d triangolo che costruiamo:
- L’ortocentro di un triangolo acutangolo è un punto interno al triangolo.
- L’ortocentro di un triangolo ottusangolo (che ha un angolo ottuso) è un punto esterno al triangolo.
- L’ortocentro di un triangolo rettangolo coincide con uno dei vertici del triangolo che è quello all’interno dell’angolo retto.
Il circocentro (e le assi di un triangolo)
Il circoncentro è il punto in cui si incontrano le assi di un triangolo.
L’asse di un triangolo è una retta perpendicolare al lato e che divide il lato in due parti uguali. Per disegnare l’asse di un triangolo basta dividere ogni lato in due parti uguali e tracciare, con l’aiuto della squadra, una retta perpendicolare che passa per quel punto.
Il triangolo ha tre assi che si incontrano nel circocentro che è equidistante dai tre vertici del triangolo. Puoi dimostrare questa proprietà misurando la distanza del circocentro dai tre vertici.
Anche la posizione del circocentro, cambia, a seconda degli angoli di un triangolo. Il circoncentro di un triangolo può essere:
- Interno per un triangolo acutangolo
- Esterno al triangolo per un triangolo ottusangolo
- Il punto medio del triangolo per un triangolo rettangolo
In un triangolo rettangolo il circocentro, il baricentro e l’ortocentro coincidono.
La rotazione di un triangolo: il cono
Ogni corso online matematica ti spiega come ottenere, dalla rotazione di un triangolo, da una figura piana una figura geometrica solida tridimensionale.
Ricorda che una figura geometrica piana ha solo due dimensioni: l’altezza e la larghezza. Una figura geometrica solida invece ha tre dimensioni: la lunghezza, la larghezza e l’altezza.
Se facciamo ruotare un triangolo rettangolo attorno al cateto minore, otteniamo il cerchio di base del cono che ha per area laterale, la superficie curva creata dall’ipotenusa che sarà l’apotema del cono.
La piramide è una figura geometrica solida le cui facce sono dei triangoli.
I triangoli intorno a noi
La realtà intorno a noi è fatta di triangoli! Per cominciare, quando vai a scuola a piedi, in bici o con la macchina, osserva i cartelli stradali che trovi lungo il percorso.
Compito di realtà: fotografa e scopri il significato dei cartelli stradali a forma di triangolo.
A primavera si sente più forte il cinguettio degli uccellini. Se sei al parco, in città o comunque all’aperto guarda verso il cielo e prova a vedere, come fossi ad una delle lezioni di mate, con l’aiuto di un cannocchiale, che forme creano nel cielo gli stormi di uccelli.
Siamo sicuri che troverai anche un triangolo!
I triangoli sono nelle costruzioni antiche e moderne, dal Partenone, al Louvre alle case. Quali monumenti famosi nel mondo hanno la forma di triangoli? Porta esempi di triangoli nella storia dell’arte. Ti consigliamo di partire da quadro famosi con figure geometriche come quelli di Kandinskij.
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