F₂ = F₁ = 1 + F₀ = 0 = 1 + 0 = 1 » → « F₂ = F₁ + F₀ = 1 + 0 = 1
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,13… Questa serie di numeri nasconde una delle formule matematiche più affascinanti e utili della storia: la successione di Fibonacci!
La successione di Fibonacci funziona secondo un principio elementare: ogni numero è la somma dei due precedenti, partendo da 0 e 1. Introdotta in Europa nel XIII secolo dal matematico italiano Leonardo Fibonacci nel suo Liber Abaci (1202), questa successione ha rivoluzionato la nostra comprensione della matematica.
Otto secoli dopo, continua a meravigliare: dalle spirali dei girasoli agli algoritmi informatici, dalle proporzioni archoitettoniche del Partenone alle composizioni di Debussy, rivela un'armonia universale tra numeri e realtà.
Per approfondire questi concetti o esercitarti con un corso di matematica online, questo articolo ti presenta:
- La storia della successione di Fibonacci (dove si parla di conigli!)
- Il funzionamento della successione per sapere come calcolare i primi termini (e quelli successivi)
- Nonché alcune proprietà della successione di Fibonacci (incluso il legame con il famoso numero aureo).
Le origini della serie di Fibonacci: Leonardo Pisano e i conigli
Scoperta nel XIII secolo, la successione di Fibonacci si è progressivamente imposta come uno degli oggetti matematici più studiati e più ricchi di applicazioni.
In questa parte, ripercorriamo il ruolo di Leonardo Fibonacci nella diffusione dell'uso delle cifre indo-arabe, il libro fondamentale Liber Abaci e il celebre problema dei conigli.
Leonardo Fibonacci, il mercante rivoluzionario (della matematica)
Leonardo Pisano completò il Liber Abaci? (fonte: Treccani DBI)
Leonardo Fibonacci, il cui vero nome era Leonardo Pisano (ovvero "Leonardo di Pisa"), nasce intorno al 1170 nella Repubblica marinara di Pisa1.
È in un contesto cosmopolita, al crocevia tra civiltà europea, araba e bizantina, che il giovane Leonardo riceve un'educazione eccezionale per la sua epoca. Suo padre lo porta con sé nei suoi viaggi commerciali attraverso il bacino del Mediterraneo: Egitto, Siria, Grecia, Sicilia e Provenza.
A contatto con i sapienti arabi e i mercanti orientali, Fibonacci scopre un sistema di numerazione rivoluzionario: le cifre indo-arabe (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) e il concetto dello zero, che facilitano notevolmente i calcoli rispetto alle cifre romane (I, V, X, L, C, D, M) ancora utilizzate in Europa.
Il Liber Abaci: il libro che ha rivoluzionato l'Europa
Tornato a Pisa intorno al 1200, Fibonacci scrive nel 1202 la sua opera principale: il Liber Abaci (letteralmente "Il Libro del calcolo" o "Il Libro dell'abaco"). Contrariamente a quanto suggerisce il titolo, quest'opera non tratta dell'abaco (pallottoliere), bensì del calcolo con le nuove cifre indo-arabe.
Il Liber Abaci è una vera e propria enciclopedia commerciale e matematica che presenta:
- Il sistema di numerazione decimale e posizionale
- Le quattro operazioni aritmetiche di base
- Il calcolo delle frazioni
- Le conversioni di monete e misure
- Problemi di ripartizione e proporzioni
- Applicazioni commerciali (calcolo degli interessi, regole di lega, ecc.)
L'influenza araba e indiana è evidente: Fibonacci cita esplicitamente i matematici arabi e riconosce che il loro sistema è il metodo degli indiani.
Le cifre che usiamo oggi sono state inventate in India intorno al V secolo, perfezionate dai matematici persiani e arabi (in particolare Al-Khwarizmi nel IX secolo).
Il passaggio dalle cifre romane a quelle indo-arabe ovviamente non è avvenuto da un giorno all'altro. Ci sono voluti quasi tre secoli perché il nuovo sistema si imponesse nelle università, nei commerci e nelle amministrazioni europee.
Ma l'efficienza del sistema decimale era tale che la sua adozione era inevitabile: dove occorrevano righe di calcolo con le cifre romane, ora bastavano poche operazioni.
Il celebre problema dei conigli
È nel capitolo 12 del Liber Abaci2, in una sezione dedicata ai problemi ricreativi, che Fibonacci introduce il problema che renderà immortale il suo nome.
Quot paria coniculorum in uno anno ex uno pario germinentur (Quante coppie di conigli nascono in un anno da una sola coppia)
Leonardo Fibonacci, Liber Abaci (1202), cap. XII.
Mese 1
1 coppia
Si inizia con 1 coppia di conigli appena nati (chiamiamola coppia A). Questa coppia è ancora immatura e non può riprodursi.
Mese 2
1 coppia (la coppia A)
La coppia A è cresciuta, ma ha appena raggiunto la maturità. Potrà riprodursi il mese successivo.
Mese 3
2 coppie (A adulta, B immatura)
La coppia A dà vita a una nuova coppia (coppia B). La coppia B è appena nata, quindi immatura.
Mese 4
3 coppie (A adulta, B matura, C immatura)
La coppia A dà vita a una nuova coppia (coppia C). La coppia B raggiunge la maturità ma non si riproduce ancora.
Mese 5
5 coppie (A e B adulte, C matura, D ed E immature)
La coppia A dà vita alla coppia D. La coppia B, ormai matura, dà vita alla coppia E. La coppia C raggiunge la maturità.
Mese 6
8 coppie (A, B e C adulte, D ed E mature, F, G e H immature)
Le coppie A, B e C si riproducono (3 nuove coppie). Le coppie D ed E raggiungono la maturità.
Lo schema prosegue così, ed ecco la progressione completa su 12 mesi:
| Mese | Coppia adulta (in età riproduttiva) | Coppia matura (non ancora in età riproduttiva) | Coppia immatura (neonata) | Totale |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 1 | 0 | 1 | 2 |
| 4 | 1 | 1 | 1 | 3 |
| 5 | 2 | 1 | 2 | 5 |
| 6 | 3 | 2 | 3 | 8 |
| 7 | 5 | 3 | 5 | 13 |
| 8 | 8 | 5 | 8 | 21 |
| 9 | 13 | 8 | 13 | 34 |
| 10 | 21 | 13 | 21 | 55 |
| 11 | 34 | 21 | 34 | 89 |
| 12 | 55 | 34 | 44 | 144 |
Ogni mese, il numero totale di coppie è pari alla somma del mese precedente (tutte le coppie sopravvivono) e del mese ancora prima (sono le coppie che a quel punto erano già adulte e che danno alla luce nuovi nati).
Coppie(mese n) = Coppie(mese n-1) + Coppie(mese n-2)
È esattamente la definizione della successione di Fibonacci! Anche se il modello biologico è ovviamente irrealistico (nessuna mortalità, riproduzione regolare come un orologio, ciclo di maturazione fisso), illustra perfettamente il principio diricorrenza al cuore di questa successione.
Lo stesso Fibonacci non chiamò mai questa successione con il suo nome. Solo nel XIX secolo il matematico francese Édouard Lucas (1842-1891) battezzò questa sequenza "successione di Fibonacci" in omaggio al suo scopritore. Fibonacci è anche noto per altri contributi: la barra di frazione (per scrivere le frazioni), studi sui numeri primi e un'approssimazione del numero π.
Sapevi che il numero aureo è legato anche alla spiritualità?
Come si calcola la sequenza di Fibonacci?
Approfondiamo da vicino il funzionamento della successione di Fibonacci.
La relazione di ricorrenza al cuore del sistema
La bellezza della successione di Fibonacci risiede nella sua disarmante semplicità. Ecco la sua definizione formale:
con 
, 
Per ottenere un termine della successione, basta sommare i due termini che lo precedono. Questo è ciò che si chiama una relazione di ricorrenza di ordine 2 (poiché coinvolge i due termini precedenti).
Questa definizione ricorsiva è fondamentale in matematica e informatica: permette di descrivere un'infinità di valori con sole due informazioni iniziali e una regola semplice.
Il calcolo dei primi termini della successione di Fibonacci passo dopo passo
Mettiamo in pratica questa regola per costruire i primi termini della successione3:
(per definizione) (per definizione)
(si sommano i due termini precedenti).
(ogni nuovo termine usa i due precedenti)
Studiando questa tabella, emergono due proprietà notevoli:
- La successione aumenta molto rapidamente. Tra
e 
, il termine è stato moltiplicato per più di 120! - Si osserva la parità (pari/dispari) dei termini: dispari (1), dispari (1), pari (2), dispari (3), dispari (5), pari (8), dispari (13), dispari (21), pari (34)... Il motivo si ripete: dispari, dispari, pari, dispari, dispari, pari... con un ciclo di periodo 3.
La formula di Binet: calcolare direttamente qualsiasi termine
Il calcolo iterativo (sommare i termini uno per uno come abbiamo appena fatto) è semplice ma faticoso per i ranghi elevati. Immagina di calcolare F₁₀₀ a mano: servirebbero 99 addizioni successive!
Fortunatamente, la formula di Binet4 permette di calcolare direttamente qualsiasi termine di Fibonacci senza passare per tutti i precedenti:
dove:
(il numero aureo)
(il "coniugato" del numero aureo)
Calcoliamo F₁₀ con la formula di Binet:
Passo 1: Calcolare φ e ψ
Passo 2: Calcolare φ¹⁰ e ψ¹⁰
Passo 3: Applicare la formula 
Il risultato è proprio F₁₀ = 55, come avevamo calcolato manualmente!
Numeri di Fibonacci: proprietà e legame con il numero aureo
Oltre alla sua semplice definizione, la successione di Fibonacci nasconde proprietà matematiche straordinarie, ravvisabili anche in natura. Due aspetti attirano particolarmente l'attenzione: la loro misteriosa convergenza verso il numero aureo e le loro sorprendenti proprietà aritmetiche.
Il numero aureo e la spirale di Fibonacci
Calcoliamo i rapporti tra termini consecutivi della successione:
- F₂/F₁ = 1/1 = 1
- F₃/F₂ = 2/1 = 2
- F₄/F₃ = 3/2 = 1,5
- F₅/F₄ = 5/3 ≈ 1,667
- F₆/F₅ = 8/5 = 1,6
- F₁₀/F₉ = 55/34 ≈ 1,617647
- F₂₀/F₁₉ = 6765/4181 ≈ 1,618034
- F₅₀/F₄₉ ≈ 1,618033988749...
Questo rapporto converge verso un valore preciso chiamato numero aureo (φ, pronunciato "fi")
Matematicamente, si scrive: 
Il numero aureo possiede una notevole proprietà geometrica: un rettangolo i cui lati sono nel rapporto φ (il "rettangolo aureo") può essere scomposto in un quadrato e un rettangolo più piccolo... anch'esso aureo! Ripetendo questa operazione e tracciando archi di cerchio in ogni quadrato, si ottiene la celebre spirale di Fibonacci, una spirale che approssima quella dei semi di girasole e delle squame delle pigne.
Le proprietà matematiche avanzate
La successione di Fibonacci possiede sorprendenti proprietà di divisibilità:
- Regola di divisibilità: Se n divide m, allora Fₙ divide Fₘ. Ad esempio, F₃ = 2 divide F₆ = 8, F₉ = 34, F₁₂ = 144...
- Parità ciclica: La successione segue un motivo dispari-dispari-pari che si ripete ogni 3 termini
- MCD notevole: MCD(Fₙ, Fₘ) = F_MCD(n,m)
Nella matematica avanzata, i numeri di Fibonacci compaiono in contesti sorprendenti:
- Conteggio: Fₙ conta il numero di modi per pavimentare un rettangolo 1×(n-1) con domino 1×1 e 1×2
- Teoria dei grafi: Fₙ rappresenta il numero di sottoinsiemi indipendenti in un grafo a percorso di lunghezza n
- Successioni modulo: La successione di Fibonacci modulo m (chiamata successione di Pisano) è sempre periodica, con periodi affascinanti
Queste proprietà fanno della successione di Fibonacci un oggetto matematico fondamentale che continua ad alimentare la ricerca contemporanea.
La successione di Fibonacci è ovunque intorno a noi e in diverse discipline:
🧮 In matematica e informatica: negli algoritmi ricorsivi, nelle strutture dati...
🌸 In natura: struttura di un girasole, pigne, galassie, conchiglie...
🖼 Nell'arte: nel design e nelle proporzioni di alcuni dipinti
🏛 In architettura: in particolare presso Le Corbusier ma anche nel Partenone
Ma anche nel codice genetico, in alcuni giochi (come al casinò) o sui mercati finanziari.
Hai già trovato la sequenza di Fibonacci intorno a te?
Dall'enigma medievale dei conigli di Fibonacci agli algoritmi che governano i nostri smartphone, questa successione millenaria non ha mai smesso di tessere legami tra matematica e realtà (presenza del numero aureo in numerosi ambiti come l'arte).
Ma Fibonacci è solo una porta d'ingresso verso un universo matematico ancora più vasto: successioni ricorrenti, programmazione dinamica, teoria dei numeri... Per progredire al tuo ritmo con un insegnante di matematica privato, niente è meglio di esercizi adatti e spiegazioni su misura.
Definizione: Ogni termine = somma dei due precedenti (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...)
Formula ricorsiva: F(n) = F(n-1) + F(n-2), con F(0)=0 e F(1)=1
Numero aureo φ: Limite del rapporto lim F(n+1)/F(n) = Φ
Formula di Binet: Calcolo diretto senza ricorsione: F(n) = [φⁿ - (-φ)⁻ⁿ] / √5
Fonti
- Devlin, Keith. The Man of Numbers: Fibonacci's Arithmetic Revolution. Walker & Company, 2011. Disponibile su https://archive.org/details/B-001-001-284 Consultato il 13 ottobre 2026.
- Fibonacci, Leonardo. Liber Abaci[1202]. Translated by Laurence E. Sigler, Springer, 2002. Disponibile su https://www.mifami.org/eLibrary/Fibonacci-LiberAbaci-QuadClass-2pp.pdf Consultato il 13 ottobre 2026.
- Koshy, Thomas. Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. Vol. 1, John Wiley & Sons, 2001. Disponibile su https://onlinelibrary.wiley.com/doi/book/10.1002/9781118033067 Consultato il 13 ottobre 2026.
- “Fibonacci.” Enciclopedia della Matematica, Istituto della Enciclopedia Italiana Treccani, 2017, https://www.treccani.it/enciclopedia/fibonacci_%28Enciclopedia-della-Matematica%29/. Consultato il 13 ottobre 2026.
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