"Ogni numero illuminato ha la sua ombra dorata." Nabil Alami

Il numero aureo, chiamato anche sezione aurea o costante di Fidia, è una proporzione definita come l'unico rapporto a / b tra due lunghezze a e b. Il rapporto tra la somma a + b delle due lunghezze e la più grande (a) è uguale a quello della più grande (a) sulla più piccola (b): (a + b) / a = a / b. Tale numero irrazionale è designato dalla lettera greca φ (phi) e vale circa 1,6180339887. Un milione di studenti italiani seguono lezioni private ogni anno, molte delle quali in matematica! Spesso considerata difficile, la matematica può essere giocosa e presentare misteri affascinanti! Affrontiamo quindi la proporzione aurea, uno degli argomenti più interessanti di questa disciplina!

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La storia della sezione aurea

La costruzione delle piramidi prevede l'uso della sezione aurea!
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Le origini della sezione aurea

La piramide di Cheope (2600 a.C.) è secondo molti scienziati l'origine della sezione aurea.

Il rapporto aureo è molto antico ed è stato usato inizialmente in geometria, probabilmente dai pitagorici, i quali lo utilizzavano per costruire pentagoni usando triangoli isosceli. A quel tempo non veniva usato in modo aritmetico poiché i pitagorici pensavano che qualsiasi numero sia razionale, ma la proporzione aurea non è razionale. Ma il primo testo matematico che evoca chiaramente l’idea della sezione aurea è stato scritto da Euclide (300 a.C.), nel quale viene definita come segue: "Una retta è detta divisa in estrema e media ragione quando il rapporto tra la lunghezza della retta ed il segmento più grande è uguale al rapporto tra il segmento più grande ed il più piccolo." Tuttavia, Platone è senza dubbio all'origine dello studio del rapporto aureo come oggetto di studio a sé stante. A quel tempo, questo concetto non veniva chiamato numero aureo.

Il numero aureo nel Medioevo

Nell’ottavo secolo il matematico Al-Khawarizmi portò un nuovo sguardo alla sezione aurea, proponendo diversi problemi, consistenti nel dividere una lunghezza di dieci unità in due parti. La soluzione di uno di questi è la dimensione iniziale divisa per il rapporto aureo. Ma fu poi Fibonacci a parlare delle equazioni del matematico persiano in Europa, specialmente attraverso la sua famosa serie di Fibonacci, senza vedere un legame con il rapporto aureo. L'irrazionalità del rapporto aureo è dimostrata da Campano attraverso l'infinita discesa che si può vedere nella spirale aurea.

Il numero aureo durante il Rinascimento

Nel Rinascimento, il numero aureo fu chiamato costante di Fidia, illustrato dal geniale Leonardo da Vinci. Fu in quel momento che la sequenza di Fibonacci fu messa in relazione al rapporto aureo. Dividendo un numero della sequenza per il suo numero precedente, il risultato è vicino al rapporto aureo. L'approssimazione è migliore quando il numero di decimali è alto. Questa relazione fu resa chiara e il risultato è stato effettivamente trovato da Keplero, che rimarrà affascinato dal numero aureo per tutta la vita.

La nascita di un mito nel diciannovesimo secolo

Nel tempo il numero perderà il suo fascino matematico ma produrrà un crescente interesse sul piano sistemico. Il filosofo tedesco Adolf Zeising ritiene che il rapporto aureo possa consentire di comprendere sia i campi scientifici che quelli artistici. Nonostante un dubbio approccio scientifico, le teorie di Zeising ebbero un certo seguito, specialmente in Europa. Grazie al rapporto aureo sarebbe infatti possibile spiegare la bellezza! Anche per tutto il ventesimo secolo, il numero d’ oro continua ad affascinare matematici, artisti e architetti.

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Il numero aureo in geometria.
Il numero aureo in geometria.

Come calcolare la sezione aurea?

La prima definizione del rapporto aureo è geometrica.

Si dice sezione aurea del segmento AB il segmento AC, con C compreso tra A e B, medio proporzionale tra l'intero segmento AB e la parte rimanente CB, ossia AB:AC = AC:CB. Più precisamente un segmento è diviso in due parti secondo la sezione aurea se il rapporto tra le lunghezze delle parti è Φ . Alla luce del lavoro di Euclide, appare una nuova definizione del numero aureo: "Il numero di oro è il numero reale positivo, indicato con φ, uguale alla frazione a / b se a e b sono due numeri in proporzione della ragione estrema e media." Ecco la formula corrispondente: φ = (1 + √5) / 2. φ è la soluzione di un'equazione di secondo grado, che fornisce una terza definizione: "Il rapporto aureo è l'unica soluzione all'equazione x2 - x - 1 = 0." Grazie a questi calcoli, è possibile disegnare una proporzione di ragione estrema e media:

Disegna un cerchio C di raggio 1, Alla fine del raggio 1, disegna un segmento di lunghezza 1/2, perpendicolare al raggio. Disegna il cerchio C 'di raggio 1/2 posizionando la punta del compasso alla fine del segmento di lunghezza 1/2 precedentemente disegnato, Disegna il segmento dal centro del cerchio C alla fine del cerchio C ', passando attraverso il centro del cerchio C'. La lunghezza di questo segmento vale il rapporto aureo. Da questi cerchi è possibile costruire un rettangolo aureo. Il rapporto aureo può essere utilizzato anche per la costruzione di pentagoni e pentagrammi e anche per la trigonometria.

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Il numero aureo in aritmetica

Come calcolare la proporzione aurea?

Come riesci a dimostrare il legame tra la serie di Fibonacci e il rapporto aureo?
Ecco la reazione di quando riesci a dimostrare il legame tra la serie di Fibonacci e il rapporto aureo!

L'altro metodo per definire il rapporto aureo è algebrico.

In algebra, il rapporto aureo è definito come l'unica radice positiva di un'equazione. Utilizzando approcci algebrici e geometrici, è possibile risolvere un'equazione di secondo grado. Questo si chiama algebra geometrica. φ2 = 1 + φ ha una soluzione per il rapporto aureo.

La proporzione aurea può anche essere approssimata usando la frazione continua all'infinito. 1 + (1 / (1 + (1/1))). La serie di Fibonacci fornisce anche approssimazioni del rapporto aureo, e, viceversa, la formula di Binet esprime la sequenza di Fibonacci secondo il rapporto aureo. La sezione aurea è anche usata in alcune equazioni di Dihanthant.

L'onnipresenza del rapporto aureo

Come puoi notare, il numero aureo è onnipresente in matematica ma anche intorno a noi.

In natura, la sezione aurea è presente attraverso diversi elementi:

  • Le squame di una pigna generano spirali logaritmiche che possono produrre la sequenza di Fibonacci,
  • Gli stami di un girasole rispondono allo stesso fenomeno,
  • I cristalli di quarzo si formano in un modello pentagonale, che coinvolge il numero aureo,
  • La corteccia di un ananas induce una spirale ordinata associata al rapporto aureo.

Ma la fillotassi di girasole e la cristallografia al quarzo non seguono sempre le regole del rapporto aureo! È quindi difficile vedere un fenomeno mistico o divino. Forse è solo una coincidenza ...

Qual è la proporzione aurea?

Anche in fotografia, la sezione aurea determinerebbe una foto perfetta.
Anche in fotografia, la sezione aurea determinerebbe una foto perfetta.

La questione secondo la quale il corpo umano sarebbe legata o meno al rapporto aureo è stata ripetutamente sollevata, in ambito scientifico, artistico o estetico. Zeising aveva tentato di misurare il corpo umano usando solo il numero aureo, ma questo tentativo fu presto abbandonato. Le proporzioni del corpo umano così elaborate non erano affatto realistiche. Inoltre, le dimensioni del corpo umano cambiano costantemente. Gli umani crescono mentre l'evoluzione si evolve e non necessariamente in modo uniforme. Tuttavia, la ricerca del rapporto aureo nel corpo umano non viene abbandonata. Oggi gli scienziati indugiano sulla struttura del cervello sperando di scoprire un legame con il rapporto aureo. Ma questa teoria rimane controversa.

La proporzione aurea non affascina gli scienziati ma si trova in molte aree come la pittura, in particolare quella del Rinascimento. Ricorda, a quel tempo il numero aureo era chiamato costante di Fidia (si trova, per esempio nel dipinto “La nascita di Venere” di Botticelli). Ma a volte si tratta solamente di interpretazioni tardive, poiché spesso non vi è alcuna volontà da parte dell'artista, come suggerito dal dipinto “San Girolamo” dei Leonardo da Vinci, in cui troviamo il rettangolo d'oro. L'uso del rapporto aureo in molti vecchi edifici è un argomento controverso. È difficile sapere se i costruttori fossero consapevoli di usare il rapporto aureo o se si tratta di una sovrainterpretazione da parte degli archeologi. Esistono diversi esempi:

  • Il teatro di Epidauro
  • La grande piramide di Giza
  • La facciata del Partenone
  • L'antica torre a Modon
  • Il grande altare di Pergamo
  • Una stele funeraria di Edessa
  • Le tombe macedoni di Pella.

D'altra parte, più recentemente, l'architetto francese Le Corbusier ha teorizzato l'uso del rapporto aureo e ha creato un sistema chiamato Modulor, che userà in molti dei suoi edifici come la Cité Radieuse di Marsiglia o la Notre-Dame-du-Chapelle. Anche nella musica, il numero d'oro è ricercato in armonia e ritmo. L'approssimazione più vicina del rapporto aureo è il sesto minore ottenuto da due suoni le cui frequenze definiscono un rapporto di 8/5 = 1,6. E potremmo continuare a lungo, poiché la presenza del numero aureo affascina ed è oggetto di teorie più o meno scientifiche e verificate!

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Igor

Traduttore e insegnante, mi occupo anche di montaggio video e recitazione. Amo la musica, dal pop italiano alla classica. Curiosità è l'anagramma del mio nome.