Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche
Galileo, Il Saggiatore (1623)
Il numero aureo, chiamato anche sezione aurea, proporzione aurea o divina proporzione, è una proporzione definita come l'unico rapporto a/b tra due lunghezze a e b. Il rapporto della somma a + b delle due lunghezze sulla maggiore (a) è uguale a quello della maggiore (a) sulla minore (b): (a + b)/a = a/b.
Viene anche indicato con la lettera greca φ (phi). È un numero irrazionale, unica soluzione dell'equazione, e vale circa 1,61803398875.
Spesso considerata difficile, la matematica può essere divertente e nasconde misteri affascinanti.
Scopriamo insieme la proporzione aurea!
La storia del numero aureo
Le origini del numero aureo
Il nome "divina proporzione" viene da Luca Pacioli, 1509
Il numero aureo è molto antico ed era utilizzato inizialmente in geometria, probabilmente dai pitagorici. Lo usavano per costruire pentagoni con l'aiuto di triangoli isosceli.
A quell'epoca, non veniva utilizzato in modo aritmetico poiché i pitagorici pensavano che ogni numero fosse razionale, mentre la proporzione aurea non lo è.
Ma il primo testo matematico che evoca realmente il numero aureo fu scritto da Euclide (300 a.C.). Lo definisce così: « Una retta si dice divisa in estrema e media ragione quando, come sta tutta rispetto al segmento maggiore, così il maggiore sta rispetto al minore. »
Tuttavia, è probabilmente Platone all'origine dello studio del numero aureo come oggetto di studio a sé stante.
A quell'epoca, questo numero non era chiamato numero aureo.
Il numero aureo attraverso il Medioevo
Il matematico Al-Khwarizmi apporta uno sguardo nuovo sulla sezione aurea nell'VIII secolo, proponendo diversi problemi che consistono nel dividere una lunghezza di dieci unità in due parti.
La soluzione di uno di questi è la dimensione iniziale divisa per il numero aureo.
Ma è Fibonacci a parlare delle equazioni del matematico persiano in Europa, in particolare attraverso la sua celebre successione di Fibonacci, senza tuttavia vederne un legame con il numero aureo.
L'irrazionalità del numero aureo viene dimostrata da Campano attraverso la discesa infinita che si può osservare nella spirale aurea.
Il numero aureo durante il Rinascimento
Nel Rinascimento, il numero aureo viene chiamato divina proporzione e deriverebbe da un intervento divino secondo il libro di Pacioli, illustrato dal celebre Leonardo da Vinci.
È anche in questo periodo che la successione di Fibonacci viene messa in relazione con il numero aureo. Dividendo un termine della successione per il termine precedente, il risultato si avvicina al numero aureo. L'approssimazione è migliore quando il termine è più elevato.
Questa relazione viene messa in luce da una nota anonima e il risultato viene effettivamente ritrovato da Johannes Kepler, che rimarrà affascinato dal numero aureo per tutta la vita. Dice di esso « La geometria possiede due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l'altro è la divisione di una linea in media ed estrema ragione. Il primo può essere paragonato a una regola d'oro; il secondo a un gioiello prezioso ».
fu stampato il De divina proportione a Venezia?
Nel De divina proportione (Venezia, 1509), Luca Pacioli riprende il concetto di proporzione divina, oggi noto come sezione aurea, un rapporto matematico di circa 1,618, già studiato nell’antichità e considerato espressione di armonia e perfezione; l’opera, illustrata da Leonardo da Vinci con disegni di solidi geometrici, ne esplora il significato matematico, estetico e simbolico.
La nascita di un mito nel XIX secolo
Perde parte del suo interesse matematico ma guadagna un interesse crescente come sistema.
Il filosofo tedesco Adolf Zeising pensa che il numero aureo possa permettere di comprendere sia gli ambiti scientifici che quelli artistici. È durante il XVIII secolo che appaiono i termini sezione aurea e numero aureo.
Nonostante un approccio scientifico discutibile, le teorie di Zeising affascinano, in particolare in Francia. Grazie al numero aureo, sarebbe possibile spiegare la bellezza. Charles Henry, inserendosi nello spirito positivista, firma il testo fondatore del puntinismo. In esso, associa il numero aureo a una teoria del colore e delle linee. Influenzerà pittori come Seurat e Pissarro.
Il XX secolo: l'apogeo del numero aureo
Anche durante tutto il XX secolo, il numero aureo continua ad affascinare matematici, artisti e architetti. La sua popolarità cresce durante la prima parte del Novecento.
Matila Ghyka, principe rumeno, riprende le tesi del secolo passato basandosi su esempi tratti dalla natura come conchiglie e piante. Ma va oltre: applica queste teorie all'architettura, tuttavia la dimensione mistica non è mai lontana.
I pitagorici non hanno lasciato alcuna traccia scritta sul numero aureo. Per Ghyka e i suoi seguaci, è perché avrebbero voluto mantenere segreta la loro scoperta. Il numero aureo sarebbe un sapere perduto, chiamato Tradizione Primordiale o Conoscenza Occulta presso movimenti come i Rosa-Croce, ispirati dalle idee sviluppate in Germania da Franz Liharzik. Per questo gruppo, il numero aureo sarebbe la prova incontestabile dell'esistenza di un gruppo ristretto di iniziati in possesso della scienza matematica assoluta.
Nel 1929, Ghyka va ancora oltre, affermando che il numero aureo è una prova di superiorità culturale, sociale ed etnica su alcune popolazioni. Altri seguono il suo pensiero e utilizzano il numero aureo per confrontare le morfologie di una popolazione al fine di concludere a una superiorità razziale...
Altri intellettuali o artisti non si spingono così lontano ma utilizzano il numero aureo per composizioni musicali come Iannis Xenakis, per creare un edificio come Le Corbusier, per scrivere poesie come Paul Valéry con il suo Cantique des colonnes (1922) o ancora per dipingere come Salvador Dalí in un quadro intitolato Il Sacramento dell'Ultima Cena.
Sul piano matematico, il numero aureo non è più utilizzato, ad eccezione della successione di Fibonacci.
Sul piano scientifico, invece, continua a incuriosire e a sollevare interrogativi. La spirale delle squame della pigna è legata alla proporzione di Euclide? È una domanda che affascina gli scienziati.
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Proporzione aurea in geometria: rettangolo, spirale e pentagono
Il teorema è il seguente:
Due lunghezze a e b (strettamente positive) rispettano la «proporzione aurea» se il rapporto di a su b è uguale al rapporto di a + b su a.
Alla luce dei lavori di Euclide, appare una nuova definizione del numero aureo. Il numero aureo è il numero reale positivo, indicato con φ, uguale alla frazione a/b se a e b sono due numeri in proporzione di estrema e media ragione.
Ecco la formula corrispondente:
φ è la soluzione di un'equazione di secondo grado, il che permette di dare una terza definizione:
Il numero aureo è l'unica soluzione dell'equazione
Grazie a questi calcoli, è possibile disegnare una proporzione di estrema e media ragione utilizzando un compasso, un righello e una squadra:
- Tracciare un cerchio C di raggio 1,
- All'estremità del raggio 1, tracciare un segmento di lunghezza 1/2, perpendicolare al raggio,
- Tracciare il cerchio C' di raggio 1/2 posizionando la punta del compasso all'estremità del segmento di lunghezza 1/2 tracciato in precedenza,
- Tracciare il segmento dal centro del cerchio C fino all'estremità del cerchio C' passando per il centro del cerchio C',
- La lunghezza di questo segmento corrisponde al numero aureo.
A partire da questi cerchi, è possibile costruire un rettangolo aureo.
Si può anche inserire un quadrato di lato a − b nel rettangolo aureo di lati b × (a − b). Aggiungendo un quarto di cerchio in ciascun quadrato, si ottiene una spirale, chiamata spirale aurea.
Il numero aureo può essere utilizzato anche per la costruzione di pentagoni e pentagrammi e anche in trigonometria.
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Come si calcola il rapporto aureo
L'altro metodo per definire il numero aureo è algebrico.
In algebra, il numero aureo è definito come l'unica radice positiva di un'equazione.
Utilizzando entrambi gli approcci, algebrico e geometrico, è possibile risolvere un'equazione di secondo grado. Si parla allora di algebra geometrica. ha come soluzione il numero aureo.
La proporzione aurea può anche essere approssimata utilizzando la frazione continua all'infinito. 1 + (1/(1 + (1/1))).
Anche la successione di Fibonacci fornisce approssimazioni del numero aureo.
E viceversa, la formula di Binet esprime la successione di Fibonacci in funzione del numero aureo.
La sezione aurea viene utilizzata anche in alcune equazioni diofantee.
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Sezione aurea: significato ed esempi intorno a noi
Avrai capito che il numero aureo è onnipresente in matematica ma anche tutto intorno a noi.
Nella natura
In natura la sezione aurea è presente attraverso diversi elementi:
- 👉 Le squame di una pigna generano spirali logaritmiche che possono far emergere la successione di Fibonacci,
- 👉 Le infiorescenze di un girasole rispondono allo stesso fenomeno,
- 👉 I cristalli di quarzo si formano secondo uno schema pentagonale, coinvolgendo il numero aureo,
- 👉 La buccia di un ananas induce una spirale ordinata associata al numero aureo.
Ma la fillotassi del girasole e la cristallografia del quarzo non seguono sempre le regole del numero aureo.
È quindi difficile vedervi un fenomeno mistico o divino. Forse è semplicemente una coincidenza...
Il corpo umano
La questione del corpo umano legato o meno al numero aureo è stata posta molte volte, sia in ambito scientifico, artistico che estetico.Zeising aveva peraltro tentato di misurare il corpo umano utilizzando solo il numero aureo, ma questo tentativo è stato rapidamente abbandonato. Le proporzioni del corpo umano così disegnate non erano realistiche. Inoltre, le dimensioni del corpo umano sono in continua evoluzione. Gli esseri umani crescono man mano che l'evoluzione procede e non necessariamente in modo uniforme.
Tuttavia, la ricerca del numero aureo nel corpo umano non è stata abbandonata. Oggi, gli scienziati si concentrano sul cervello nella speranza di scoprirvi un legame con il numero aureo. Ma questa teoria resta controversa.
La pittura
La proporzione aurea non affascina solo gli scienziati, ma la si ritrova in numerosi ambiti come nella storia dell'arte, in particolare in quella del Rinascimento. Ricordiamo che in quell'epoca il numero aureo era chiamato divina proporzione. La si ritroverebbe nel quadro La Nascita di Venere di Botticelli. Ma a volte si tratta di interpretazioni tardive e di nessuna volontà da parte dell'artista, come suggerisce il quadro San Girolamo di Leonardo da Vinci, in cui si ritrova il rettangolo aureo.
In definitiva, con qualche approssimazione, è molto facile avvicinarsi al numero aureo. Gli artisti dividono le loro tele in ottavi, poi in 4/8 e in 5/8, il che è molto vicino al numero aureo, con uno scarto di soli 7 millesimi.
L'archeologia
L'uso del numero aureo in numerose costruzioni antiche è un argomento controverso. È difficile sapere se i costruttori fossero consapevoli di utilizzare il numero aureo o se si tratti di una sovrainterpretazione da parte degli archeologi.
Si possono citare diversi esempi, non tutti condivisi all'unanimità:
- 👉 Il teatro di Epidauro,
- 👉 La grande piramide di Giza,
- 👉 La facciata del Partenone secondo le convenzioni (rettangolo aureo),
- 👉 Una torre antica a Modone,
- 👉 Il grande altare di Pergamo,
- 👉 Una stele funeraria di Edessa,
- 👉 Una tomba a Pella.
L'architettura
Più recentemente, invece, l'architetto Le Corbusier teorizza l'utilizzo del numero aureo e crea un sistema chiamato Modulor che utilizzerà in molte delle sue costruzioni come la Cité radieuse di Marsiglia o la Cappella di Notre-Dame-du-Haut a Ronchamp.
Il numero aureo è stato utilizzato da numerosi architetti nel corso dei secoli.
La poesia
Nella metrica dei versi, sia attraverso la cesura, sia attraverso l'alternanza di versi con un numero di piedi diverso, ritroviamo i numeri della tradizionale successione di Fibonacci.
La musica
Anche in musica, il numero aureo viene ricercato nell'armonia e nel ritmo. L'approssimazione più vicina al numero aureo è la sesta minore ottenuta da due suoni le cui frequenze definiscono un rapporto di 8/5 = 1,6. Si ritrova questo rapporto e la successione 1-1-2-3-5-8 (di Fibonacci) in particolare nel jazz e nella musica orientale.
Nelle strutture musicali, esistono numerosi esempi in Haydn, Mozart o Beethoven in cui la proporzione è spesso regolata sul rapporto 8/5, vicino a Φ.
L'estetica matematica
La domanda che ritorna spesso è quella dell'esistenza o meno dell'idea di bellezza associata al numero aureo in una realtà scientifica. L'artista Xenakis è convinto dell'esistenza di una teoria scientifica dell'estetica.
Le durate musicali sono create da scariche muscolari che azionano gli arti umani. È evidente che i movimenti di questi arti tendono a verificarsi in tempi proporzionali alle dimensioni di questi numeri. Da qui la conseguenza: le durate che sono in rapporto con il numero aureo sono più naturali per i movimenti del corpo umano.
Prima del sociologo Emile Durkheim, il filosofo Gustav Fechner cerca di validare scientificamente un'associazione tra il bello e il rettangolo aureo. I risultati delle sue ricerche mostrano l'esistenza di un canone di bellezza costruito con l'aiuto della divina proporzione, ma il protocollo non era sufficientemente rigoroso, invalidando quindi l'esperimento.
Così, oggi, nessun approccio scientifico permette di confermare l'ipotesi di una teoria scientifica della bellezza.
E si potrebbe continuare ancora a lungo, tanto la presenza del numero aureo affascina ed è oggetto di teorie più o meno scientifiche e verificate, come nel caso della spiritualità!E perché non scoprire il numero aureo durante un corso di matematica per la maturità?
Fonti
- Treccani. “Sezione aurea.” Enciclopedia on line, https://www.treccani.it/enciclopedia/sezione-aurea/. Consultato il 13 ottobre 2026.
- Veneranda Biblioteca Ambrosiana. “La Biblioteca Ambrosiana", https://ambrosiana.it/partecipa/mostre-e-iniziative/la-biblioteca-ambrosiana/. Consultato il 13 ottobre 2026.
- Livio, Mario. La sezione aurea. BUR Rizzoli, 2017.
- Sapienza Università di Roma. “Sezione aurea e successione di Fibonacci.” Dipartimento di Matematica Guido Castelnuovo, https://www.mat.uniroma1.it/it/sezione-aurea-e-successione-di-fibonacci. Consultato il 13 ottobre 2026.
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Molto interessante
Grazie
grazie
prego Thomas!
Semplice ed essenziale .Motiva a saperne di piu’
Siamo contenti che l’articolo sia stato di suo gradimento, Leopoldina!
Condivido la ragionevole considerazione che il rapporto aureo in molto opere architettoniche e figurative dell’antichità è una sovrainterpretazione contemporanea coerente con la enfatizzazione che domina in questi decenni. Grazie dell’ottimo articolo.
Grazie a te per il commento Giovanni, siamo felici che l’articolo ti sia piaciuto!