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La matematica e i fenomeni controintuitivi

Di Francesca, pubblicato il 30/04/2019 Blog > Sostegno Scolastico > Matematica > I Paradossi Matematici Più Utili E Celebri!

Quadretti, teoremi, cifre, segni…e risultati che non tornano mai…

Praticamente, più procedi con la tua scolarità… e meno le cose quadrano, in matematica.

Non parliamo, poi, di cosa succede a partire dal momento in cui si intraprende o studio dell’algebra…. Una sorta di catastrofe a livello individuale, famigliare, interplanetario, per tagliare corto.

Quante volte, da ragazzi – o proprio pocanzi – ci siamo disperati di fronte ad una disciplina centrale, quanto “ostica”!

Con tutti questi numeri arabi e quelle lettere strane, c’è da perdersi…! Per una volta, vediamo di usare proprio una bella metafora matematica, per stare bene in tema: “La matematica è un po’ il massimo comune divisore (in aritmetica elementare) del curriculum scolastico”.

Cerchi lezioni di matematica e geometria per bambini?

Se sei uno studente, è probabile che leggere questa frase ti getti ancor più nella disperazione.

E se sei un genitore … la tua disperazione è altrettanto probabile, qualora tu abbia constatato una propensione piuttosto negativa … di tuo figlio rispetto alla disciplina matematica.

Detto questo, probabilmente ti sarà capitato di invidiare quei geni che prendono la scienza come un gioco. Vene sono diversi, in giro per il mondo e per le scuole. In classe, o nella classe accanto … Tutti ne parlano, i professori li encomiano, i compagni li invidiano o cercano di carpirne i trucchi…Gli amici li applaudono…Ma qualcuno li canzona.

Hai mai provato, tu, personalmente, a metterti nei loro panni? Per capirli un po’?

Per conoscere davvero tutto sulla scienza dei numeri, cerchiamo quindi di seguire le loro orme, alla scoperta dei paradossi matematici, e viaggiamo tra l’aritmetica, la trigonometria e la probabilità.

Che cos’è il paradosso, in matematica?

Il termine paradosso viene dal greco, ovviamente. Se pensiamo all’aggettivo “paradossale”, che spessissimo adoperiamo, anche a sproposito, possiamo avvicinarci gradualmente alla questione di nostro interesse quest’ oggi. Avanziamo lentamente.

Paradossale significa in contrasto apparente con il buon senso, con il comune sentire ed agire. L’aggettivo è spesso usato per indicare qualcosa di “sbalorditivo”. Ebbene, la matematica sbalordisce: da sempre. E non solo gli oziosi scienziati delle epoche che furono, privi di stimoli digitali, impegni frenetici, sempre dediti all’osservazione dell’universo circostante! Cerchi ripasso facile analisi logica?

Da un punto di vista della definizione logico-linguistica, il paradosso è facilmente delineabile. Diciamo che si tratterebbe di un ragionamento non valido all’apparenza, ma che si finisce col dover accettare. Oppure, si può anche dire che si ha a che fare con un ragionamento corretto, il quale porta tuttavia, inevitabilmente ad una contraddizione.

Eh già: questa doppia prospettiva in base alla quale caratterizzare o individuare i paradossi matematici preannuncia la particolarità tutta propria del campo in cui ci si addentra. Interessante, no? Ammettilo e non stare arroccato sul tuo partito preso!

Non ti eri mai accostato a tale questione prima d’ora?

Strano, esistono addirittura numerosi blog che approfondiscono ora uno ora l’altro, fra i paradossi matematici più comuni e più sbalorditivi. Cerchi lezioni di geometria?

In maniera ancora più semplice, potremmo definire il paradosso matematico come la descrizione di un fatto o un avvenimento che va ad urtarsi contro le opinioni correnti, l’esperienza comune, suscitando sorpresa, curiosità, incredulità e voglia di andare un po’ a fondo all’analisi.

Ma la cosa senza dubbio più affascinante, specialmente dal punto di vista di un umanista, che concerne i paradossi matematici è ciò che essi mettono in evidenza: la possibile fragilità delle nostre abilità di ragionamento e discernimento!

L’elenco dei paradossi più noti è lungo: si va dall’Hotel di Hilbert al paradosso di Russel, passando per il paradosso dei due bambini, il paradosso del compleanno….

Il campo della matematica potrebbe mostrarti tutto il suo fascino, se vi entrerai in modo, per così dire, un po’ più letterario e fantastico… rispetto al solito … appunto affrontando le antinomie, o paradossi matematici.

Vedrai, ti piacerà, e in poco tempo potrai offrire tu stesso lezioni (perché magari la tua passione ti condurrà a diventare un matematico!), anche sul web: la matematica online è molti ricercata!

Tutti, prima o poi nella loro esistenza, fanno l’esperienza di qualche lezione di matematica, vuoi per ragioni programmatiche e di lunga scadenza, vuoi per questioni legate alla comprensione di un capitolo specifico della atematica appresa a scuola o all’università. Appresa e… a volte non compresa!

Sai che molti insegnanti di matematica, da piccoli, hanno avuto problemi a scuola? Perché non dovresti tu riuscire a superare ogni difficoltà e diventare come loro?

Prova di definizione generale

Ma torniamo al nostro tema del giorno: il paradosso matematico. La dizione è già misteriosa.

Non c’è davvero alcun bisogno di avere una laurea in scienze esatte (e men che meno in matematica e fisica) per capire di cosa si tratta.

Il termine paradosso si riferisce a una “proposta che, contraddittoriamente, mette in luce un punto di vista prelogico o irrazionale, prendendo in contropiede alcune certezze logiche della verosimiglianza”.

È ovvio che le scienze fisiche nei loro annali contengano molte sorprese da risolvere con questa definizione. Ma ogni insegnante – o studente – sa che esistono paradossi più noti di altri, ma anche più interessanti… o più disponibili. Alcuni potrebbero essere più vicini alla fisica e alla chimica, altri alla scienza e alla tecnologia in generale.

In base alla propria propensione, ognuno sarà attratto dal paradosso che, dal punto di vista tematico ed argomentativo, si confà al ramo di interesse. Questa affinità disciplinare tra il paradosso e le competenze di base possedute, farà sì che il primo possa essere afferrato al volo, o comunque compreso in tempi ragionevoli. Con una metafora calcistica, diciamo che si tratta del concetto del “giocare in casa”.

Tralasciando prodotto scalare e altre equazioni differenziali, cerchiamo di sorridere un po’. È possibile, sii fiducioso.

Lasciando fuori, per un attimo, il calcolo letterale, prendiamo in considerazione il proverbio cinese che recita: “Tre sorrisi al giorno, tolgono il medico di torno”.  E aggiungiamoci pure “e il superamento degli esami è più semplice”.

La moltiplicazione esponenziale dei problemi matematici sarà in grado di dividere i tuoi errori nella vita reale – sì, sì, te lo assicuro! Insomma, non è affatto vero che la matematica sia una disciplina meramente teorica o che la sua componente pratica sfugga ai comuni mortali (ossia ai “non matematici”), che non serva a nulla, nel concreto. Ed il capitolo sui paradossi te lo dimostrerà.

I paradossi matematici affascinano letteralmente gli amanti della matematica. Ma anche tutti coloro che posseggono una certa indole filosofica, amando riflettere sul senso dell’esistenza e delle attività che essa porta a compiere. Un soggetto affascinante tanto quanto il Pi greco!

I falsi paradossi

Ti vediamo già sogghignare … e pensare: “ti pareva, che non venisse fuori un imbroglio” Cominciamo bene! Se le cose si mettono così…”

Ma non essere sospettoso e critico oltremodo, sebbene stiamo parlando di matematica. Un po’ di entusiasmo: tutto seguirà liscio come l’olio, se leggerai con attenzione e sfrutterai gli spunti offerti per ampliare la tua ricerca in merito, ovviamente partendo dalla rete!

Il paradosso di Achille e della tartaruga

Vogliamo partire dalla Grecia e da Roma antica? Eh sì, hai capito bene. Non stiamo sbagliando argomento, non parliamo di studi letterari … Tuttavia … I saperi si compenetrano sempre…

Achille e la tartaruga: riuscirà Achille a raggiungere il lento animale? Ecco la tartaruga del paradosso … !

La favoletta della tartaruga è nota a molti … ed alimentò una leggenda per molto, molto tempo…Il nome è già sufficiente a stupirci!

L’animale, dal canto suo, potrebbe evocarci certa nostra lentezza apparente nel pervenire ad una soluzione, di fronte ad una domanda matematica!

La sua risoluzione ci riporta direttamente alla favola della lepre e della tartaruga.

Tornando alle nostre tartarughe… Si tratta di una vecchia volpe, che risale a Zenone di Elea (490-430 a.C.). Lasciando un centinaio di metri di vantaggio a una tartaruga, con le conoscenze teoriche dell’epoca, Zenone sosteneva che Achille non avrebbe mai potuto raggiungerla perché la tartaruga avrebbe continuato ad avanzare. Probabilmente questa domanda non ti sarà mai fatta quando discuterai la tua tesi di laurea.

Questa asserzione andava, naturalmente, contro il parere comune, ma è soltanto con la matematica moderna che è stata, definitivamente, rifiutata, grazie alla serie, alla risoluzione di equazioni, all’equivalenza grafica o, ancora, all’infinitamente piccolo.

A proposito di Antica Roma … Hai bisogno di ripetizioni matematica roma?

L’enigma del dollaro mancante appartiene allo stesso tipo di ragionamento fallace, ma fa parte degli esercizi matematici senza tempo (oltre ad essere un mezzo per “salare” l’addizione…). Per rivedere il tuo ragionamento logico, è perfetto!

Il paradosso del quadrato mancante

No, non si tratta di un rompicapo cinese! Seguiamo un breve corso di geometria per assurdo.

Si tratta semplicemente di una formulazione matematica plausibile, ma solo sulla base di un’illusione ottica che conduce quindi a…una conclusione altamente improbabile!

Basandoci sul modello di tangram, bisogna ricostruire un triangolo con altre forme geometriche. Esistono diverse soluzioni…tra cui il fatto che rimane un piccolo quadrato vuoto all’interno del triangolo. Tuttavia, è impossibile aver perso gran parte dell’area!

La soluzione: questa componente mancante è il prodotto della leggera deformazione del triangolo imperfetto con i lati arrotondati. Era quindi un falso triangolo quello che bisognava riorganizzare! Non occorre aver studiato matematica all’università per accorgersene!

Per rimanere in tema, conosci i più grandi misteri matematici?

Tutte queste cifre, questi numeri e questi teoremi sono un vero rompicapo, non c'è che dire! Cifre, numeri, teoremi: un vero rompicapo!

Paradossi teorici, ma difficilmente praticabili

Il paradosso di Banach-Tarski

Questo teorema di geometria pura è stato dimostrato nel 1924, sulla base dell’assioma di scelta che contribuisce alla costruzione di insiemi non misurabili. Si riassume grosso modo così: si può tagliare una sfera di spazio ordinario {\ mathbb {R} ^ {3}} in un certo numero (finito) di pezzi, e poi riassemblare questi ultimi per formare due sfere identiche alla prima, a uno spostamento vicino.

È sicuramente curioso. In effetti, una cosa del genere è possibile solo se queste piccole estremità di sfera non sono misurabili (introdurre un volume, per esempio, comporterebbe di fatto una contraddizione). La metodologia richiede ancora qualche dettaglio in più…

Dai, non è tutto: ora ti lascio provare tutto questo nella vita reale!

La geometria planare di Neumann

Nel 1929, John von Neumann fece impazzire i suoi contemporanei.

Figuriamoci cosa potremmo fare noi, per capirci qualcosa, senza l’egida di un buon insegnante di matematica che si intenda di paradossi matematici. C’è da dire, comunque, che non tutti gli insegnanti sono portati per affrontare questo genere di problema. Quella dei paradossi matematici è una sfera piuttosto complessa da prendere in esame e alla quale tentare di appassionarsi. Salvo possedere uno spiccato senso intuitivo. Tuttavia, la matematica può essere appresa, se si ha la fortuna di accostarla in maniera adatta, stimolante, con l’aiuto di testi e questioni incoraggianti da prendere in esame.

Anche lui partì dall’assioma di scelta per scomporre un quadrato in un numero (finito) di insiemi di punti. Così, grazie a delle trasformazioni affini che conservavano le loro superfici, riuscì a ottenere… non due sfere, ma due quadrati.

Albert Einstein? Non c'è dubbio, è lui il più grande genio della matematica! Albert Einstein: genio matematico e patrono delle equazioni e degli scienziati pazzi?

Il problema indotto da questo paradosso ha permesso a Laczkovich, nel 2000, di spiegare questa decomposizione all’interno di un’unità quadrata (insiemi delimitati equiscomponibili). Difficile da seguire, per il cervello!

Il paradosso del barbiere

Il barbiere è una figura di riferimento nella vita di qualsiasi adolescente e pre-adolescente. Recarsi dal barbiere costituisce un evento chiave, nello sviluppo di un uomo in crescita. Ecco perché intitolare un romanzo o un paradosso matematico “il barbiere” consente di attrarre davvero la curiosità dei più timidi in ambito matematico…

Di che genere di paradosso si tratta, allora?

I professori universitari e di scuola superiore lo adorano, perché aiuta a rendere più chiare alcuni concetti agli studenti. Beth, grande esperto di logica, però, ci prega di non dare troppo spazio a questa apparente contraddizione.

Prova a immaginare una comunità in cui il governo centrale richiederebbe a un barbiere di radere tutti gli uomini (e solo loro!) che non si fanno la barba da soli. Il nostro barbiere, anch’egli cittadino dei luoghi, è in guai seri: da un lato, viola la legge se si fa la barba da solo, dal momento che gli è stato richiesto di radere solo chi non lo fa su di sé; dall’altro, se non si cura di tagliare la propria barba, avrà torto, perché doveva radersi la barba lunga quelli …

Si tratta di un buon modo per evidenziare la possibilità di emanare norme assurde, non è vero? La critica politica ha fatto ampiamente ricordo a questo paradosso per evidenziare la fallacia e le assurdità di determinati contesti di regolamentazione, nella nostra e, soprattutto, in altre epoche e civiltà.

L’antinomia di Russell, appartenente al campo della teoria degli insiemi (o classi) è leggermente differente, e si piazza sul piano teorico: “Nel 1905, Bertrand Russell dimostra che il concetto di “insiemi di insiemi che non sono elementi di loro stessi” è contraddittorio” (Enciclopedia universale, vol. 6, p. 265).

Come tutti i paradossi, per essere capito necessita di un po' di applicazione o di qualcuno che lo spieghi. Uno dei paradossi più particolari, quello del barbiere!

E se la Terra voltasse come un guanto?

Abbandoniamo la topologia differenziale e prendiamo in considerazione quella lineare. Nel 1958, S. Smale formulò la “fuga (o inversione) della sfera”. Di cosa si tratta? Sicuramente di una legge che farà divertire gli studenti di matematica dell’università, ma molto meno quelli della scuola pubblica…

Attraverso i progressi ottenuti dalla computer animation, potremmo evidenziare la possibilità di far fuoriuscire l’interno di una sfera, nel nostro spazio tridimensionale.

Bisognerebbe prendere in considerazione Raoul Bott e fare le pulci a un’omotopia che molto raramente si incontra nella vita di tutti i giorni! Ma chi lo sa se non darebbe un giorno origine a una rivoluzione tecnica?

La controintuizione nel quotidiano

Il paradosso di Simpson

Nulla a che vedere con i piccoli piccoli personaggi giallastri dotati di astrazione razionale…

L’esperto di statistica Edward Simpson formulò questo paradosso nel 1951. In realtà, si tratta di gruppi apparentemente contraddittori di dati, ma semplicemente perché si basano su criteri diversi .

Esempio: contro tale malattia, la prescrizione A sarebbe più efficace della prescrizione B. Si avverte la causa? No, perché quando la malattia è benigna, il trattamento B è più efficace del trattamento A, quindi i risultati sono comunque migliori in caso di violazione acuta…

Numeri relativi, polinomi, algebra: ecco gli elementi al cuore del nostro studio matematico! Numeri relativi, polinomi, algebra… i dati che animano il nostro studio!

Questo paradosso emerge solo se esiste una variabile che influenza il risultato, e se il campione statisticamente studiato non è distribuito uniformemente.

Si tratta, quindi, di un invito a spingere le cose fino al fondo, in modo da avere tutte le carte in mano prima di arrivare a qualsiasi decisione.

Condorcet e la sua metodologia elettorale

È frutto del rivoluzionario matematico che porta lo stesso nome. Si tratta di un requisito applicato al sistema elettivo, che vorrebbe che se ci debba essere un vincitore legittimo a seguito di una votazione, allora sarà l’unico che, di fronte  a ciascuno dei suoi concorrenti, a loro sarà preferito da elezioni.

Al contrario, è un esempio di ciò che una pluralità di voti dà spesso risultati diversi o contrario alla volontà effettiva dell’elettorato. In breve, a seconda di come il voto si svolge, il risultato sarà influenzato …

E ‘certamente un bene che una voce di questo principio nella Costituzione renderebbe quasi impossibile alle istituzioni … Ma forse sarebbe la pena di essere provato?

Gli scienziati hanno utilizzato la matematica per determinare il ruolo primario di Game of Thrones. Pensi che si siano serviti di Condorcet e della sua metodologia elettorale?

Rogers, che fenomeno!

La formulazione di questo processo matematico è semplice. In presenza di due insiemi, spostando un elemento da uno all’altro, può accadere che la media di ciascuno di questi due gruppi…aumenti!

Ma sono necessarie due condizioni perché possa avvenire questa sorpresa numerica: il numero spostato deve essere inferiore rispetto alla media del suo insieme originario e superiore a quella del suo insieme di destinazione.

Vedi, non si tratta sempre di storie complesse di funzioni deliranti! Se sei iscritto a una facoltà scientifica, questi casi limite sono a portata di mano!

Avere a disposizione un insegnante privato è il modo migliore per non restare indietro! Il supporto accademico, un buon modo per invertire il processo di disuguaglianza!

In breve, tra i problemi falsi e quelli reali, c’è davvero di che divertirsi! E per mettere alla prova i tuoi compagni…Dalla teoria all’impraticabile, è solo un passo.

Sarai in grado di prendere in giro il tuo insegnante di matematica, i tuoi compagni di classe o tuoi rivali nei test di matematica online!

Riflessione sul paradosso esistenziale

A proposito…. giusto per alleggerire un po’ la tematica: sai che quando ti chiedi “a cosa mai può servirmi la matematica”, stai in realtà formulando un quesito davvero paradossale? Potremmo citarlo, quasi, tra i paradossi matematici, se non fosse che la risposta è piuttosto articolata, poco sintetica e passibile di essere sempre ampliata e migliorata.

Vuoi sapere perché? Molti di noi, ovvero praticamente chiunque, in innumerevoli momenti della sua esistenza, adoperano la matematica. Prediamo, ad esempio, la moltiplicazione. Chi di noi non ha avuto bisogno di sapere quante latte di cibo per gatti comprare, per essere a posto per una settimana, con i propri animali domestici?

E quante volte capita di dover ottenere, tramite divisione (che poi è l’inverso della moltiplicazione, dunque in un certo senso “ne fa parte”), quanto materiale edile serva per dedicarsi al bricolage domenicale, volendo attaccare delle banalissime mensole a chiodi?

E coloro che hanno due o tre figli, quante volte hanno dovuto divere un numero imperfetto di panini, di fette di torta o calcolare quanti quaderni servissero loro, considerato il numero multiplo delle materie scolastiche?

Ecco, ti chiederai: “cosa c’entra tutto ciò con i paradossi matematici”?

Ebbene, siccome gli esempi sopra riportati fanno parte della routine giornaliera, nell’esistenza di chiunque; siccome tutti noi ci siamo trovati automaticamente ad agire da “matematici”, per rispondere ai quesiti del tipo esemplificato sopra…Diciamo che il paradosso consiste proprio nel fatto che la maggior parte di noi, al contempo, si è chiesta, almeno una volta nella vita, “ma cosa potrà mai farci, con questa matematica”!!

Ebbene, oltre alle operazioni semplice descritte sopra, alcuni persone, indipendentemente dalla professione, si trovano a ricorrere a formule matematiche studiate a scuola. Alcuni medici, addirittura, adottano implicitamente delle derivate e calcolano a mente degli integrali per valutare la concentrazione di alcuni farmaci nel sangue … Se non “ utile questo!!!

Il paradosso, per l’appunto, risiede nel dubbio che da sempre – e forse per sempre – aleggia attorno alla effettiva praticità della materia, alla sua spendibilità nella vita corrente. È talmente pervasivo l’uso che tutti noi facciamo del sapere matematico! Eppure, tutti ne abbiamo dubitato, almeno una volta!

Questo, insomma, rispetto ai paradossi matematici è davvero qualcosa di più: si tratta di paradosso esistenziale!

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