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Lezioni di geometria e algebra lineare

La scuola italiana e la geometria: da Euclide all’algebraic geometry

Elementi di geometria, geometria analitica, matematica e algebra, geometria piana e solida, geometria algebrica, geometria analitica proiettiva, equazioni e funzioni algebriche applicate alla geometria, classificazione delle superficie algebriche, ecc.

Se 2.300 anni dopo Euclide la geometria è ancora e sempre più materia di studio in tutte le classi della scuola italiana è perché si tratta dello strumento attraverso cui studiamo e comprendiamo lo spazio che ci circonda. Nel corso dei millenni, si è evoluta enormemente e lo fa ancora oggi: è un errore pensare, come potrebbero fare i non addetti ai lavori, che si tratti di una scienza statica.

Se le teorie alimentate nell’ambito della fisica si succedono, ai nostri occhi, in modo tanto rapido che viene definita classica la penultima teoria in ordine di tempo, in geometria i mutamenti di prospettiva sono altrettanto frequenti anche se meno evidenti: basterebbe osservare lo sviluppo storico della disciplina per convincersene. All’interno della geometria avvengono continui scontri, come quelli tra geometria sintetica e geometria analitica, tra astrazione e concretezza, tra intuizione e formalismo.

Ma qui ci spostiamo in ambito accademico e di ricerca, dove la geometria assume forme e dimensioni dalle quali noi semplici studenti di teoremi di base siamo lontani anni luce!

La scuola italiana: geometria alle elementari

In Italia, la geometria diventa oggetto di studio sin dal terzo anno della scuola primaria: si inizia con lo studio del punto, della linea nello spazio. La teoria e gli esercizi sul piano vengono declinati in retta, semi retta e segmento. Due rette che si intersecano danno origine ad un angolo, … e così via, fino allo studio dei poligoni e, nello specifico, di triangoli e quadrilateri. Una volta create le figure piane, i piccoli iniziano lo studio, per ognuna di loro, dei relativi perimetri e aree.

Le dimostrazioni alla scuola primaria sono semplificate al massimo, vengono bandite le formule complesse per lasciare spazio alle dimostrazioni per immagini: per capire il perché l’area di un pentagono sia uguale alla metà del prodotto tra perimetro e apotema, il pentagono stesso viene spezzettato in cinque triangoli posti l’uno accanto all’altro a formare un rettangolo. In questo modo, anche i piccoli della scuola primaria possono comprendere l’evidenza espressa da una formula altrimenti vuota di significato (per loro).

Nel corso degli anni, vengono trattati i trapezi, le isometrie e i concetti di ingrandimento e di riduzione. Per quel che riguarda lo studio delle figure piane, dopo quadrato e rettangolo, continua con parallelogramma, rombo, trapezio; poligoni regolari, apotema, perimetro e area; circonferenza e area del cerchio. Nelle ultime settimane della quinta primaria (troppo spesso, negli ultimi giorni), maestri e maestre si trovano a dover chiudere il programma, spiegando (anche se, dato il tempo a disposizione, sarebbe più corretto dire citando) i solidi, lo sviluppo e l’area dei poliedri e i solidi di rotazione.

Teoria geometrica, equazioni, funzioni: la geometria in Italia alla scuola media

La scuola secondaria di primo grado, già nota come scuola media, è l’occasione per riprendere il programma visto alla scuola primaria, affrontandolo con maggiore precisione e maggiore maturità, aggiungendo ovviamente dei nuovi capitoli dell’immenso e affascinante mondo della geometria.

È anche il momento di fare un po’ di astrazione, di utilizzare un maggior numero di concetti: di cosa si occupa la geometria, enti geometrici fondamentali, assiomi e metodo assiomatico deduttivo, … I segmenti, ad esempio, vengono messi in relazione con le figure spezzate, vengono effettuati confronti ed operazioni tra segmenti; si parla di angoli e bisettrici di un angolo, angoli consecutivi, adiacenti e opposti al vertice, angolo giro, piatto, ottuso, acuto e retto. Gli angoli sono messi a confronto tra loro, si parla di somma e differenza tra angoli, multipli e sottomultipli di angoli. Lo stesso dettaglio viene poi applicato allo studio delle rette: parallele, perpendicolari, tagliate da una trasversale.

Terminato il primo anno delle medie, si inizia con le proiezioni ortogonali, per passare allo studio dell’area di tutti i poligoni, dalla più semplice (quadrato) alla più complessa (poligono regolare). Buona parte dell’anno viene dedicata allo studio del triangolo, al teorema di Pitagora e a tutte le sue applicazioni (al rombo, trapezio, …). Lo studio si complessifica ulteriormente quando si iniziano a trattare isometrie (congruenza, traslazione, rotazione, simmetria, …) e similitudini (teorema di Talete, teoremi di Euclide, …, figure omotetiche).

In terza media, i ragazzi si occupano nel dettaglio di circonferenza e cerchio (archi, corde, poligoni inscritti, area delle parti del cerchio, …), solidi, prismi, piramidi, solidi di rotazione (cilindro, cono, sfera, …).

L’algebraic geometry e funzioni algebriche: liceo scientifico e università

Alla scuola superiore i ragazzi, oramai pronti ad un salto di qualità nello studio, affronteranno lo studio della geometria analitica e del sistema di riferimento cartesiano.

In particolare, al liceo scientifico, dove si preparano i ragazzi per studi universitari di ingegneria, il programma è arricchito di argomenti molto più approfonditi e interessanti, come la geometria algebrica (che nel mondo delle discipline STEM è nota come algebraic geometry), curve, superfici algebriche, equazioni di funzioni algebriche, elementi di geometria analitica, …

I cinque anni dello scientifico sono ampiamente sufficienti affinché ogni studente capisca se matematica e geometria potranno essere materia di studio all’università: ingegneria, architettura, urbanistica,… sono altrettanti percorsi in cui la geometria e la matematica costituiscono le solide basi della formazione del futuro laureato.

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