Capitoli
- 01. Formule matematiche famose: il teorema di Pitagora!
- 02. Altri leggi matematiche: i logaritmi
- 03. Una formula matematica complessa alla base di tutti noi: la legge di gravità
- 04. Delle equazioni famose? La teoria della relatività, ovvio!
- 05. Formule matematiche difficili: la teoria del Caos!
- 06. L'identità di Eulero, una delle equazioni famose
- 07. Una delle formule matematiche complesse: la trasformata di Fourier
- 08. Le equazioni famose di Maxwell
- 09. Ancora sulle formule matematiche: il secondo principio della termodinamica
- 10. Una formula matematica della fisica quantistica : l'equazione di Schrödinger
- 11. Stephen Hawking e le sue teorie matematiche
- 12. Tabella riassuntiva delle formule matematiche che hanno cambiato per sempre la nostra vita
La matematica ci circonda sempre e comunque, un po' come se vivessimo costantemente nella matrice di Neo (se non hai ancora visto Matrix, corri subito a scaricarlo o a noleggiarlo).
Quando guardi la tua casa, la disposizione delle strade del tuo quartiere, quando accendi l'auto o fai partire la lavastoviglie, quando fai del bricolage, quando dipingi un quadro o suoni il piano, la matematica c'è sempre.
Nessun oggetto è stato realizzato senza l'utilizzo della matematica e delle sue formule, equazioni, teorie, assiomi, fin dagli albori della storia dell'uomo: l'insegnamento della matematica e della geometria ai bambini è uno strumento molto importante per la crescita personale e culturale.
Equazioni complesse con più di una variabile, teoremi matematici che risalgono all'Antichità, per arrivare alle ultime scoperte del XX secolo, tutto questo ha modellato il nostro mondo per sempre. Al punto che, ad ogni nuova equazione matematica, corrisponde un flusso di nuove domande e di nuove risposte sul mondo fisico.
Nel 2013, Ian Stewart, matematico e scienziato inglese di fama, ha pubblicato un'opera intitolata "Le 17 equazioni che hanno cambiato il mondo" (in Italia il libro è pubblicato da Einaudi).
Fare matematica... è un po' come cambiare il mondo: se vuoi capire perché la matematica sia così importante, quale impatto abbia avuto ogni equazione matematica, scopri sin da ora alcune delle formule considerate rivoluzionarie.
Formule matematiche famose: il teorema di Pitagora!
Questo è sicuramente tra i teoremi più conosciuti
Anche anni dopo l'ultima lezione di matematica, il nome di questo teorema vaga in un angolino della tua mente.
Tutti lo conoscono a memoria, ma ricordiamolo rapidamente: dato un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
Questo teorema, che risale a 530 anni prima della nostra epoca, è una delle basi della matematica moderna ed ha contribuito alla storia della matematica da sempre.
È essenziale per capire meglio la geometria: insomma, questa equazione ha modificato il nostro sguardo sulla geometria abitualmente piana.
Da quel giorno, grazie a Pitagora e alla sua famosa equazione, è oramai facile calcolare lunghezze, angoli e dimostrare quando un triangolo è rettangolo.
Le sue applicazioni, ovviamente, non si limitano ai banchi di scuola, ma ritroviamo spessissimo questa nozione nell'universo delle costruzioni e dell'architettura.
Altri leggi matematiche: i logaritmi
I logaritmi, resi noti da Giovanni Nepero nel 1610, raggruppano delle funzioni inverse, degli opposti e delle funzioni esponenziali.
Fino all'invenzione del computer, il calcolo con i logaritmi era il modo più utilizzato per moltiplicare dei grandi numeri; i logaritmi ci hanno permesso di calcolare più in fretta, ma soprattutto di fare dei salti da gigante nel dominio della matematica, della fisica, o ancora dell'ingegneria e dell'astronomia:
- il logaritmo neperiano è la base fondamentale nell'analisi matematica
- il logaritmo decimale è usato nei calcoli matematici
- il logaritmo binario è utilizzato nella teoria informatica e per i calcoli applicati (in "corso di matematica).
Il logaritmo di un numero è la potenza alla quale bisogna elevare la sua base per ottenere il numero stesso.
Per esempio, per quel che concerne la base 10, il logaritmo (log) è: log (1)=0, log (10)=1, log (100)=2.
Hai mai pensato alle applicazioni della matematica nel poker e nella risoluzione degli enigmi?
Una formula matematica complessa alla base di tutti noi: la legge di gravità
Chi non ha mai sentito parlare della legge di gravità di Isaac Newton? Hai presente la storia della mela che è caduta sulla testa dello scienziato, mentre questi osservava la luna nel cielo? Era il 1687.
Facendo un accostamento tra questi due corpi (la luna e la mela), Newton si interroga: perché la luna non cade?
La risposta è evidente: essa è trattenuta da una forza di gravità.
È così che è nata la celebre formula della legge di gravità di Newton: "gli astri si attirano in modo proporzionale al prodotto della loro massa e inversamente proporzionale al quadrato della distanza che li separa". 200 anni dopo Newton, Einstein sostituirà la teoria della gravità con la sua teoria della relatività.
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Delle equazioni famose? La teoria della relatività, ovvio!
Sia che siamo esperti di matematica e di fisica, sia che non sappiamo assolutamente nulla del vocabolario della matematica, conosciamo comunque la celebre formula E = mc² di Albert Einstein.
Questa formula illustra la teoria della relatività (relatività ristretta e relatività generale) e ha sconvolto tutte le conoscenze della fisica diffuse fino ad allora.
Rimane fondamentale anche oggi, perché mostra che la materia può essere trasformata in energia e viceversa.
La relatività ristretta apporta l'idea secondo cui la velocità della luce sarebbe una costante universale e che non si modificherebbe; lo scorrere del tempo non sarebbe quindi lo stesso per persone che si muovano a velocità diverse.
La relatività generale di Einstein descrive una gravità in cui lo spazio e il tempo sono rappresentati da una curva: questa è stata la più importante scoperta dalla legge di gravità di Newton.
La teoria della relatività di Einstein è essenziale ancora oggi per capire l'origine del mondo, la struttura e il destino del nostro Universo.
La matematica permette di capire meglio il mondo. Possiamo facilmente renderci conto dell'onnipresenza della matematica!
Formule matematiche difficili: la teoria del Caos!
La cosa interessante con la teoria del Caos è che ha dimostrato che non è possibile predire con precisione quello che avverrà.
Questa teoria prova che non esiste nessun vero processo che sia determinabile con precisione.
La teoria di Robert May è molto recente: è del 1975.
Descrive un processo in costante evoluzione attraverso il tempo.
Nella sua formula, May ha voluto spiegare che un comportamento caotico (come il meteo che va incontro a numerosi cambiamenti regolari, anche minimi) può condurre ad un sistema completamente diverso, pochi giorni dopo.
L'illustrazione più nota di questa teoria è quella che va sotto il nome di "effetto farfalla", secondo cui "un battito di ali di una farfalla in Brasile può provocare un uragano o un tornado in Asia".
In altri termini , le cose più insignificanti possono avere un impatto insospettabile sul nostro ambiente, vicino o meno che sia.
Infatti, non è un caso se associamo spesso matematica e seduzione!
È la molteplicità dei fattori che rende ogni evento imprevedibile.
L'identità di Eulero, una delle equazioni famose
L'identità di Eulero è considerata come "la più bella delle equazioni" delle lezioni di matematica finanziaria e non solo, perché mette in scena una combinazione improbabile di 5 costanti matematiche.
Perché ci piace questa equazione? Perché utilizza 3 delle operazioni fondamentali dell'aritmetica: l'addizione, la moltiplicazione e l'esponenziale.
Le 5 costanti rappresentate sono: "0", elemento neutro dell'addizione; "1", elemento neutro della moltiplicazione; il favoloso numero PI greco; "e", che è la base dei logaritmi ( e che appare spesso in analisi e calcoli differenziali); "i" che è l'unità immaginaria, fonte di numeri complessi che ritroviamo nelle equazioni a 3 incognite.
Questa equazione, che decora il Palazzo della scoperta a Parigi, ha aperto la strada allo sviluppo della topologia, una branchia della matematica moderna.
Una delle formule matematiche complesse: la trasformata di Fourier
La trasformata di Fourier segmenta il tempo in diverse frequenze e onde semplici come un prisma scompone la luce in diversi colori.
Un altro esempio potrebbe essere un campo magnetico o un campo acustico che definiamo come un segnale; la trasformata di Fourier è il suo spettro: scompone il campo acustico o magnetico.
Questa teoria ha sconvolto il nostro mondo perché, all'improvviso, è stato possibile capire la struttura di onde più complesse, come la parola umana.
Oggi, ritroviamo questa teoria, che risale al 1822, nel cuore dei trattamenti moderni del segnale e dell'analisi, così come nel trattamento dei dati.
Le equazioni famose di Maxwell
Le equazioni di Maxwell descrivono l'interazione della cariche elettriche, ma anche delle correnti elettriche e dei campi magnetici.
È una "palla curva" del comportamento e della relazione tra l'elettricità e il magnetismo.
Sono leggi essenziali e fondamentali della fisica odierna.
Esistono 4 forme delle equazioni di Maxwell:
- Equazione di Maxwell-Gauss
- Equazione di Maxwell-Thomson
- Equazione di Maxwell-Faraday
- Equazione di Maxwell-Ampère
Ancora sulle formule matematiche: il secondo principio della termodinamica
Il secondo principio della termodinamica (conosciuto anche sotto il nome di principio di Carnot, che lo enunciò nel 1824) prova in modo irrefutabile che i fenomeni fisici sono irreversibili, soprattutto quando vi sono dei cambiamenti termici.
Questo principio è stato rimaneggiato e riformulato a più riprese e la versione popolarizzata su grande scala è quella enunciata da Ludwig Boltzmann nel 1873 con Max Planck.
Mentre il primo principio della termodinamica stabilisce un'equivalenza delle diverse forme di energia, tra cui il calore e il lavoro (principio di conservazione), il secondo principio introduce un altro sistema, chiamato entropia.
Si tratta di un principio di evoluzione, perché determina in quale direzione possano andare le possibili trasformazioni energetiche del mondo.
Di conseguenza, alcune trasformazioni chimiche sono possibili, mentre altre non lo saranno mai.
Concretamente, se metti un pezzo di ghiaccio nella tazzina del caffè caldo, vedrai il ghiaccio sciogliersi e mai il caffè ghiacciarsi.
Una formula matematica della fisica quantistica : l'equazione di Schrödinger
Se dovessimo illustrare la matematica e la meccanica quantistica, l'equazione di Schrödinger ne sarebbe l'esempio perfetto.
Come la teoria della relatività generale di Einstein è riuscita a spiegare l'universo su grande scala, questa equazione chiarisce il comportamento degli atomi e delle particelle subatomiche.
L'equazione di Schrödinger spiega l'evoluzione nel tempo di una particella. Descrive gli stati di questa particella a partire dai quali è possibile descrivere tutti gli stati composti di particelle.
Questa equazione pone una vera questione filosofica, e cioè: la materia è costituita dalla presenza di stati possibili (gas, solidi, liquidi)? Non c'è niente altro?
L'applicazione di questa equazione si ritrova nella tecnologia moderna come l'energia nucleare, i computer a semiconduttori e il laser.
Come abbiamo visto, attraverso il tempo, e soprattutto dal XVIII e XIX secolo, le equazioni matematiche hanno saputo trasformare il mondo in cui viviamo e ci sono utili tutti i giorni, in maniera più o meno discreta.
Ti hanno mai chiesto se il gatto nella scatola sia vivo o sia morto? Ecco una spiegazione della teoria del gatto di Schrodinger:
Stephen Hawking e le sue teorie matematiche
Esattamente 300 anni dopo la morte del grandissimo Galileo Galilei, nasce un altro personaggio che farà parlare di sé: e non solo nel mondo degli scienziati, ma anche in quello della gente comune.
Si tratta di Stephen Hawking, che ha saputo reagire ad una vita di certo non semplice, con serenità, con il sorriso e soprattutto regalando a tutti noi (ma in particolare a fisici, matematici e scienziati in generale) delle formule e delle teorie che hanno dato un imprinting preciso alle scoperte scientifiche.
La storia è nota a tutti o quasi: agli inizi del dottorato a Cambridge questo brillante studente scopre di essere malato di SLA e gli vengono prognosticati due soli anni di vita. Era l'anno 1963, Hawking morirà nel 2018!
Dedicò tutta la vita alla ricerca scientifica e alla divulgazione scientifica dell'astronomia e della fisica; i suoi testi rendono accessibile a tutti la scienza degli astri, mentre i romanzi di fantascienza scritti assieme alla figlia Lucy avvicinano anche i giovanissimi al desiderio di scoperta.
Parlando di questo scienziato non si può non citare la sua tensione verso la creazione di una Teoria del Tutto: egli voleva unificare la teoria della relatività di Einstein con la teoria elettromagnetica, in modo da avanzare con le scoperte scientifiche e con la comprensione dei misteri dell'universo.
Ma trattare di Hawking significa anche parlare di singolarità spazio temporali e, soprattutto, di buchi neri. Lo scienziato britannico riuscì a dimostrare con una formula che i buchi neri presentano proprietà termiche: possono evaporare! Questo, detto in termini meno astratti, potrebbe riassumersi cosi: i buchi neri non sono completamente neri, in quanto dal loro interno sfuggono alcune deboli radiazioni elettromagnetiche.
Hawking aveva espressamente richiesto che la formula nota con il suo nome fosse scritta sulla sua lapide.
Il minimo, per ricordare un grande scienziato, no?
Quale sarà la prossima innovazione dovuta alla matematica? Quale nuova rivelazione matematica verrà ancora una volta a sconvolgere la nostra concezione della vita cosi come ce la rappresentiamo oggi? Scoprilo cercando un insegnante che segua il tuo percorso di studi direttamente nella tua città: le ripetizioni matematica di Roma sono molto ricercate!
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Tabella riassuntiva delle formule matematiche che hanno cambiato per sempre la nostra vita
Nella tabella qui sotto, abbiamo voluto concentrare molte delle formule matematiche complesse e famose, quelle che hanno fatto fare dei passi in avanti alla scienza e che ci permettono di essere quelli che oggi siamo: fisica, astrofisica, elettromagnetismo, geometria, informatica, medicina, economia, ... non vi sono campi scientifici che non risentano di una o più di queste formule. Ovviamente, la tabella non è esaustiva; data la mole di studi e risultati scientifici di cui beneficiamo al giorno d'oggi, sarebbe infatti impossibile riassumere tutto in poche righe; tocca a te, allora, completare la tabella con quelle che secondo te sono le formule più utili, più affascinanti, più sfruttate, ...
| Nome della formula | Settore di applicazione | Cosa ci dice |
|---|---|---|
| L’equazione di Schroedinger | Meccanica quantistica | Determina l’evoluzione temporale dello stato di un sistema |
| La teoria della relatività di Einstein | Fisica | Stabilisce l’equivalenza e il fattore di conversione tra l’energia e la massa di un sistema fisico |
| Il secondo principio della termodinamica (formulazione di Clausius) | Termodinamica | "È impossibile realizzare una trasformazione il cui unico risultato sia quello di trasferire calore da un corpo più freddo a uno più caldo senza l’apporto di lavoro esterno" |
| Le equazioni di Maxwell | Elettromagnetismo | Descrivono la relazione tra campi elettrici e campi magnetici |
| Equazioni di Navier-Stokes | Fluidodinamica | Descrivono il comportamento di un fluido dal punto di vista macroscopico |
| La Trasformata di Fourier | Informatica | Individua un criterio per compiere un campionamento in grado di digitalizzare un segnale senza ridurne il contenuto informativo |
| Equazione di D’Alembert o delle onde | Fisica (acustica, elettromagnetismo, fluidodinamica, ...) | Descrive il comportamento delle onde |
| La distribuzione normale o di Gauss | Statistica | Rappresenta una prima approssimazione per descrivere variabili casuali a valori reali che tendono a concentrarsi attorno a un singolo valore medio |
| Formula di Eulero per i poliedri | Geometria | La somma di vertici e spigoli meno le facce è sempre 2 |
| La legge di gravitazione universale di Newton | Fisica | Spiega come si comportano gli oggetti in movimento nello spazio |
| Il calcolo differenziale | Medicina, Fisica, Ingegneria, ... | E’ fondamentale per misurare aree, curve e solidi |
| Il Teorema di Pitagora | Geometria | In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati sui cateti |
| Il modello di Black-Scholes | Economia | Rappresenta l’andamento nel tempo del prezzo di strumenti finanziari, in particolare delle opzioni. |
| L’entropia dell’informazione (teoria di Shannon) | Informatica | E' una misura del disordine |
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