Agli esami di maturità che includono la matematica, capita spesso che la prova riguardi le funzioni.

I problemi possono riguardare le funzioni polinomiali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche. Lo studio delle funzioni consiste nell’analizzare le sue variazioni e i suoi limiti, cercare i suoi estremi, trovare gli asintoti, se esistono, e infine rappresentarle.

Studiare le variazioni di una funzione, quindi, è una domanda tipo che ricorre spesso durante la prova di matematica.

Esiste un metodo matematico generale per studiare le variazioni di una data funzione in un intervallo I, tracciare le variazioni e rappresentare il grafico su un piano cartesiano.

Ovviamente, puoi usare queste informazioni anche per le tue lezioni di matematica.

Vediamo come si disegna una funzione partendo dai valori della seguente equazione:

f(x)=x³+3²-9x+6

Prima, però facciamo un breve accenno ai concetti di funzione lineare, derivata prima e derivata seconda con i rispettivi grafici.

Come disegnare una funzione lineare

 

In analisi matematica i valori del dominio sono la base per disegnare i grafici.
Quanti punti bisogna calcolare per disegnare una funzione?

Lo studio della funzione lineare è il più semplice in assoluto.

Ricordiamo che una funzione è un'associazione che collega gli elementi di due insiemi. A ogni elemento dell'insieme A corrisponde uno e un solo elemento di B.

Se la funzione parte da A, questo insieme è definito dominio, mentre B diventa il codominio.

Le funzioni lineari sono rappresentate tramite una retta sul piano cartesiano. La loro caratteristica è che nell'equazione presentano una sola variabile e una sola costante, diversa da zero:

f (x)= ax +b

Si tratta, quindi, di un polinomio di primo grado dove a è diverso da zero e b un numero reale qualunque. Se a= 0 abbiamo una funzione costante. Nel caso in cui b sia uguale a zero abbiamo una funzione identità.

Andando al grafico, come abbiamo visto, si tratta di una retta il cui punto di intersezione tra i due assi corrisponde a x=0.

La retta non sarà né verticale né orizzontale ma avrà una pendenza descritta dal valore di a. Se per esempio nella funzione  y=ax+b il valore di a è 3, vuol dire che per ogni punto sulle ascisse, ci sposteremo di 3 punti sulle ordinate.

Grazie alla pendenza si possono individuare altri punti e usare degli strumenti molto semplici, come il righello e la squadra per disegnare la retta. Basterà trovare tre punti per poterli tracciare tutti.

Nel caso delle funzioni complesse, che non sono lineari, è comunque utile partire sempre dai  punti di intersezione con l'asse delle ascisse dove x è pari a zero.

Come disegnare una funzione derivata prima

La derivata prima e seconda di una funzione si possono rappresentare a mano o su un foglio Excel.
Alcuni grafici online sono ottimi strumenti per studiare le funzioni!

In analisi matematica il concetto di derivata è fondamentale, soprattutto per gli studenti di quinta superiore.

La derivata misura il tasso di variazione di una funzione al cambiamento del suo argomento. In parole semplici, indica quanto incrementa la funzione punto per punto.

Il rapporto tra la distanza sull'asse delle y e quella sull'asse delle x si chiama rapporto incrementale. La derivata fotografa la situazione di un punto specifico di questo rapporto se esiste un limite ed è finito.

Ci dice se la funzione accelera o decelera in quel punto preciso, per questo trova applicazione in fisica, economia, statistica.

L'insieme dei punti in cui si può calcolare la derivata prima (f') è una funzione derivabile.

La derivata seconda (f'') è l'insieme dei punti in cui si può calcolare la derivata prima, quindi è la derivata della derivata prima. Dal punto di vista geometrico, la derivata seconda serve a identificare i valori che rendono una cura concava, mentre la derivata prima ne rappresenta l'inclinazione.

Prima di disegnare una funzione assicurati di avere gli strumenti necessari o un foglio Excel, per raccogliere i valori dell'insieme dominio e creare grafici.

Come si disegna una funzione: la derivata prima

Riprendiamo l'esempio inziale: la funzione f(x)=x³+3²-9x+6. Si tratta di una funzione polinomiale formata dalla somma di 3 termini della formula axn (a e n sono numeri interi naturali) e una costante. Sapendo che la derivata di axn è del tipo anxn-1 e che la derivata di una costante è zero, la derivata di f(x) è:

f'(x)=3x²+6x-9.

Fattorizzare la derivata di f, se possibile

Lo scopo di questa fase è fattorizzare la derivata della funzione f(x) per poterla esprime sotto forma di prodotto o quoziente di un’espressione. La fattorizzazione è una tappa chiave da non dimenticare perché rende molto più facile lo studio del segno della funzione f'(x).

La fattorizzazione, è come risolvere un enigma matematico durante una lezione di tale materia.

Possiamo prendere 3 come fattore e scrivere: f'(x)=3(x²+2x-3).

x²+2x-3 è un trinomio di secondo grado che ha la forma ax²+bx+c dove a,b, e c sono numeri reali. Per fattorizzare questo trinomio bisogna innanzitutto calcolare il discriminante e trovare le radici di x1 e x2.

= b2 -4ac = 22 -4×1×-3 = 4+12 = 16

Si può allora calcolare la radice con la seguente formula:

x1=-3

x2=1

Si noti che il discriminante è positivo (e allora le due radici esistono), il trinomio può essere scritto sotto la forma fattorizzata (x-x1)(x-x2), che vuol dire x²+2x-3=(x-(-3)) (x-1)=(x+3)(x-1).

La derivata della funzione si scrive nella seguente forma fattorizzata:

f'(x)03(x+3)(x-1)

Studiare il segno su un intervallo I per disegnare una funzione

Il numero 3 è positivo quindi il segno di f’(x) è identico al segno di (x+3)(x-1).

Risolviamo la seguente disequazione:

x + 3 > 0 => x > -3, quindi il binomio x+3 è positivo se x è superiore a -3, è nullo se x è uguale a -3, ed è negativo se x  inferiore a -3.

x – 1 > 0 => x > 1, allo stesso modo il binomio x-1 è positivo se x è superiore a -1, è pari a zero se x è uguale a 1 ed è negativo se x è inferiore a 1.

Il grafico del segno della derivata f'(x) è rappresentato qui sotto:

x– ∞                                 -3                                     1+∞
x + 3                 –                         0               +                                           +
x – 1                 –                                             –                   0                     +
f'(x)               +                         0                 –                   0                     +

Si noti che avremmo potuto determinare il segno del trinomio x²+2x-3 usando anche un altro metodo.

Infatti, quando il discriminante è positivo, il trinomio ax²+bx+c assume un segno contrario ad a nell’intervallo compresso tra le due radici  x1 e xe lo stesso segno di a in caso contrario.

E dopo questa spiegazione, scopri come risolvere gli altri problemi matematici!

Tracciare la curva delle variazioni di f su un intervallo

Si trovi la derivata di f per ogni intervallo J:

– se f'(x)>0 per ogni x che appartiene a J, f è crescente,

– se f'(x)<0 per ogni valore di x appartenente a J, f è decrescente.

L’andamento della curva è la rappresentazione schematica delle direzioni che prende la curva sull’asse delle ascisse e delle ordinate.

L’andamento della variazione di f è come segue:

x-∞                                           -3                                       1+∞
f(x)                                                   33                                                                                +∞-∞                                                                                        1

Si noti che f(-3)=33 e f(1)=1

Calcoliamo i limiti della funzione:

= = +∞

= = -∞ (un numero negativo soggetto a una potenza dispari, rimane negativo)

Dalla tabella delle variazioni di f, si nota che questa funzione raggiunge il massimo nel punto A (-3;33) e un minimo nel punto B (1;1).

Se ti interessa questo argomento, approfondisci anche la conoscenza delle equazioni in matematica!

Come rappresentare una funzione su un intervallo definito

Per tracciare il grafico che rappresenta questa funzione, basta posizionare il suo massimo e il suo minimo sul piano cartesiano e fare una tabella che ci aiuti a posizionare qualche altro punto preciso:

xf (x)
-51
-228
-117
06
5161

Ed ecco la nostra famosa curva:

Per tracciare il grafico di una funzione oltre ai valori massimo e minimo avremo bisogno di calcolare altri punti.
La variazione di una funzione!

La matematica e l’arte spesso sono legate, solo che una curva matematica è tutto tranne che artistica!

Fai attenzione a mettere i dati sul punto giusto del piano.

La tabella delle variazioni di una funzione serve a trovare facilmente gli asintoti. In genere si trovano con lo studio del segno della derivata.

Durante un corso di matematica gli allievi si esercitano su tabelle che non rappresentano l’intera funzione, ma solo una una parte.

D’altronde, se una funzione si ripete all’infinito, non si può fare altrimenti.

In questo caso, le funzioni sono dette periodiche.

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Catia

Traduttrice e scrittrice con una passione per le lingue