Musica Lezioni private Lingue straniere Sostegno Scolastico Sport Arte e Svago
Condividi

Fattorizzare e capire meglio i numeri complessi

Di Catia, pubblicato il 30/10/2017 Blog > Sostegno Scolastico > Matematica > Come si Risolve un’Equazione Matematica?

La matematica spesso è vista come una materia complessa, temuta da molti studenti…e molti adulti!

Eppure, questa disciplina un po’ bistrattata fa parte delle conoscenze fondamentali da avere se si vuole andare bene a scuola.

Almeno fino al diploma, non potrai sfuggire alla risoluzione di problemi matematici.

E più in là, nell’insegnamento universitario, le tue nozioni di matematica ti permetteranno di adottare un certo rigore analitico e una capacità di sintesi che migliorerà anche l’efficienza della tua memoria.

Ogni bambino oltre a saper leggere e scrivere deve saper fare di calcolo, quindi la matematica è essenziale. La matematica è tra le materie fondamentali fin dalla prima infanzia!

Mentre su Youtube fioccano video tutorial su come insegnare matematica e geometria per bambini, per i più grandicelli è il momento di riappacificarsi con la materia ripartendo dalle basi: le equazioni.

Con una calcolatrice e molta motivazione puoi scoprire come risolvere un’equazione. In questo modo, tra l’altro, potrai rapportarti con la matematica con più serenità.

Che cos’è un’equazione?

In matematica, così come nelle altre materie, bisogna capire il significato dei termini che si usano.

Il tuo insegnante te l’avrà detto di sicuro: conoscere il vocabolario matematico è essenziale se si vuole migliorare.

Ecco perché prima di fare un’equazione matematica devi conoscerne la definizione.

Secondo il dizionario Garzanti, un’equazione “è l’uguaglianza tra due espressioni verificata solo per particolari valori attribuiti alle variabili che in essa compaiono…”

Da questa definizione piuttosto generica compaiono i termini valori e variabili. Sono termini che non ti lasceranno fino alla risoluzione della tua equazione.

Se vogliamo usare una definizione più matematica, possiamo dire che un’equazione è l’uguaglianza tra due espressioni algebriche che contengono una o più incognite, che possono essere verificate da uno o più valori.

Costruisci il tuo vocabolario matematico imparando le definizioni dei termini usati. Per andare bene in matematica, bisogna capirne la terminologia…e impararla!

Se anche questa definizione risulta troppo astratta per te, forse potrebbe aiutarti quella data durante una lezioni di matematica in prima media. “un’equazione è un’uguaglianza che presenta una variabile (spesso chiamata x), che serve a risolvere dei problemi“.

Ora hai tutti gli elementi per capire cos’è un’equazione:

  • uguaglianza tra due espressioni algebriche
  • una o più incognite da trovare
  • una variabile chiamata x
  • utilità alla risoluzione dei problemi

Che si tratti di un’equazione di secondo grado (formula ridotta), di un’equazione con una incognita o di un’equazione differenziale, devi sempre essere capace di risolvere il problema (e fattorizzare).

Le competenze da avere per risolvere le equazioni

Riuscire a risolvere un’equazione richiede certe competenze che riguardano l’apprendimento della matematica e quel famoso “spirito matematico” che bisogna acquisire durante il proprio corso di studi.

Lo spirito matematico

La reticenza che provano molti studenti è legata al fatto che spesso non riescono a vedere l’utilità della matematica nella loro vita quotidiana.

In realtà, la matematica fa parte integrante della nostra vita quotidiana, anche se non ce ne rendiamo conto.

Dalla cucina, all’acquisto di una casa, da quando si seguono le lezioni a quando si fanno i compiti, la materia è onnipresente.

Il tuo professore di matematica a scuola o il tuo insegnante privato ti trasmettono delle competenze che ti serviranno per tutta la vita.

Quanto allo spirito matematico, è fondamentale per risolvere un’equazione senza fare errori e si può riassumere in:

  1. Rigore: è necessario essere rigorosi quando si fa matematica, e in particolare quando si tratta di equazioni. Quando ti trovi di fronte ai tuoi esercizi di matematica o una verifica, devi essere preciso e ragionare con logica.
  2.  Memoria: i matematici fanno lavorare la loro memoria. Allenandoti regolarmente sarai capace di ricollegare le lezioni di matematica e metterle in pratica per risolvere l’equazione che hai davanti. Puoi ricordarti di equazioni già risolte che assomigliano a quelle che devi fare.
  3. Organizzazione: fare un’equazione necessita di un ragionamento a tappe. L’organizzazione dei compiti e del tuo ambiente di lavoro ti permetterà di fare gli esercizi con una certa serenità. Non devi mai perdere la concentrazione.
  4. La perseveranza: bisogna ammettere che gettare la spugna davanti a un problema matematico o un’equazione non è una soluzione. Tutti gli esercizi di questa materia implicano la capacità di perseverare, anche se si sta con le spalle al muro. Per lavorare nel modo migliore bisogna trovare un modo per superare lo scoglio e andare al di là del muro grazie a un ragionamento logico.
  5. La logica: anche se i procedimenti per la risoluzione delle equazioni si ripetono sistematicamente, è importante capire la logica che sta dietro alla risoluzione di questi problemi. In questo senso, il rigore, la capacità di organizzazione, l’esercizio e la memoria permettono di capire meglio i procedimenti e risolvere i problemi in maniera più fluida grazie al ragionamento.

Quand’è che si s’impara a fare le equazioni?

Durante la scuola primaria non solo i bambini imparano a contare, ma imparano anche a familiarizzare con il calcolo mentale.

Si comincia con le addizioni, poi le sottrazioni e infine le moltiplicazioni e le divisioni.

Questi insegnamenti elementari consentono di avere delle basi matematiche.

Il primo approccio con la matematica avviene con le operazioni alle elementari, ma crescendo gli argomenti diventano sempre più complessi. Al liceo le equazioni cominciano a essere più complicate!

Le equazioni fanno la loro prima comparsa alle medie.

In seconda media, s’impara a risolvere le equazioni facendo dei calcoli letterali. Si scoprono le equazioni attraverso le famose “espressioni letterali” che sono delle formule matematiche dove ci sono anche lettere dell’alfabeto.

Ecco un esempio di equazione proposta in seconda media: 7x+5=3x-15

Bisogna trovare l’incognita (x).

Per risolvere questa equazione bisogna passare tutti i termini con l’incognita dalla stessa parte dell’equazione, e quelli che contengono i numeri dall’altra parte.

Teniamo a mente che ogni volta che si passa un termine, che si ha una x o un numero, dall’altro lato bisogna cambiare il segno: da positivo a negativo e viceversa.

Così abbiamo:

  • 7x – 3x = -15–5
  • 4x =-20
  •  x =  – 20/4=–5

Per verificare il risultato è possibile sostituire x con il suo valore. In questo caso x=-5. Abbiamo quindi 7*(-5)+5=3*(-5)-15=-30. Il risultato è esatto.

In terza media e al primo anno delle superiori, si studiano le frazioni e i numeri negativi. Ci sono anche le radici quadrate, i teoremi di Pitagora e Talete, la trigonometria con la misura degli angoli, la mediana, la bisettrice ecc. Tutti questi argomenti crescono in complessità per preparare gli studenti agli esami di maturità.

Nei compiti in classe di matematica le equazioni possono assumere questa forma:

(8x-6)/9-(-10x-6)/6=(x-5)/4

Alle superiori il livello di matematica è più alto e si trattano equazioni più complesse:

  • equazioni esponenziali
  • progressioni aritmetiche e geometriche
  • logaritmi
  • funzioni geometriche
  • derivate
  • equivalenza
  • binomio di Newton

Quindi le equazioni non scompariranno dal programma di matematica della scuola secondaria di II grado, soprattutto per quelli che scelgono il liceo scientifico e che intendono continuare a studiare questa materia anche all’università.

Come risolvere un’equazione di primo grado

Le equazioni di primo grado sembrano le più semplici da risolvere. Infatti, trovare una soluzione per un’equazione di primo grado implica solo quattro tipi di calcolo: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione.

Se devi risolvere un’equazione di primo grado con una incognita il tuo obiettivo è semplice: devi trovare il valore di x (la famosa incognita).

Le equazioni si risolvono seguendo un ragionamento logico passo dopo passo. Per risolvere le equazioni devi seguire un procedimento!

Per un’equazione semplice si può procedere per tappe:

  • isolare l’incognita
  • raggruppare i termini
  • dividere
  • concludere con la soluzione, generalmente denominata S

Per esempio, con questa equazione (3x-5=-x+2), il procedimento è il seguente:

3x+x=5+2 (qui l’incognita è stata isolata)

4x=7 (i termini sono stati raggruppati)

x=7/4 (divisione per 4)

Quindi S=7/4

Per mostrare il tuo ragionamento logico durante una verifica o un compito a casa, dovresti scrivere tutti i passaggi della dimostrazione, anche quelli più semplici.

Se fai degli errori di calcolo e ottieni il risultato sbagliato, il voto che avrai potrebbe non essere pessimo se esegui correttamente tutti i passaggi.

Ormai puoi provare a risolvere la più celebre equazione di primo grado della storia della matematica: l’epitaffio sulla tomba del matematico Diofanto d’Alessandria.

Risale al III secolo e ti permette di determinare la sua età.

Ecco l’epitaffio presente sulla sua tomba:

“Questa tomba rinchiude Diofanto e, meraviglia, dice matematicamente quanto ha vissuto. Un sesto della sua vita fu l’infanzia, un dodicesimo fu la sua adolescenza. Dopo un altro settimo della sua vita prese moglie, e dopo cinque anni di matrimonio ebbe un figlio che, per un fato severo, morì quando raggiunse metà dell’età di suo padre. Il genitore gli sopravvisse in lacrime per quattro anni e raggiunse infine il termine della propria vita.”

Trasportato in termini matematici, ecco l’equazione da risolvere: x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4. 

Trovare la soluzione per un’equazione prodotto

Un’equazione prodotto è un’equazione di secondo grado.

Concretamente, un’equazione prodotto prende la seguente forma: (ax+b)(cx+d)=0. L’incognita è sempre x, mentre a, b, c e d sono fattori fissi dati dall’esercizio. Per chi si sente più a suo agio con i numeri, ax+b potrebbe scriversi come 2x+2.

La soluzione alle equazioni è facile da trovare se si ripassano le nozioni apprese durante le lezioni di matematica. Ripassare le lezioni di matematica e allenarsi regolarmente: ecco la chiave per le equazioni!

Quando segui delle lezioni di matematica su questo tipo di equazione il tuo insegnante ti spiega una regola fondamentale per la risoluzione: il prodotto dei fattori è pari a zero se almeno uno dei fattori è zero. 

Quindi, dovrai risolvere tante equazioni quanto il numero dei fattori!

Non te lo ripeterò mai abbastanza: il modo migliore per imparare è esercitarsi. Se desideri essere seguito da un insegnante privato, ti basterà digitare, ad esempio, ripetizioni matematica online per poter scegliere quello più adatto a te. Ecco quindi un’esempio di equazione prodotto con la sua soluzione.

(3x+4) x (2x-5)=0

I due fattori corrispondono ai due gruppi d’equazione tra parentesi. Bisogna risolvere entrambe.

  • 3x+4=0

   3x=-4

   x=-4/3

  • 2x-5=0

   2x=5

   x=5/2

 Questa equazione ha due soluzioni: -4/3 e 5/2.

Come risolvere un’equazione di secondo grado

Per risolvere un’equazione di secondo grado, bisogna conoscere alla perfezione le equazioni di primo grado e i principi alla base della risoluzione delle equazioni prodotto.

Risolvere un'equazione di secondo grado è facile se si studia la matematica fin da piccoli. Ci sono esercizi di matematica adatti ad ogni età, anche per i più piccoli!

Per prima cosa, per la risoluzione di un’equazione di secondo grado è importante conoscere le sue identità notevoli. Tranquillo, ce ne sono solo 3 da conoscere a memoria:

  • a² + 2ab + b² = (a+b
  • a² – 2ab + b² = (a-b
  • a² – b² = (a+b)(a-b)

Attenzione: (a+b)² non equivale a a²+b²! Bisogna svolgere l’equazione per trovare la soluzione!

Riconoscere le identità notevoli ti permetterà di risolvere velocemente l’equazione.

La prima tappa per la risoluzione di un’equazione è cercare una di queste identità notevoli. In quale misura l’equazione da risolvere può essere scritta come l’espressione di un’identità notevole?

Quando questo non è possibile, c’è un’altra soluzione ma richiede l’apprendimento di qualche formula. Si tratta di 3 formule in totale, il che è abbastanza ragionevole.

Per risolvere un’equazione con la formula ax² + bx + c = 0, bisogna prima calcolare il discriminante del trinomio, indicato dalla lettera greca delta (Δ).

Delta si ottiene con la seguente formula: Δ = b² – 4 ac.

Si possono verificare 3 casi:

  • Quando  Δ è negativo la risoluzione è più facile perché non esistono soluzioni;
  • Quando  Δ è uguale a 0 esiste una e una sola soluzione che è la formula x = – b / 2a,
  • Infine, quando Δ è positivo ci sono due soluzioni distinte:
    • X1 = (-b-√Δ)/(2a)
    • X2 = (-b+√Δ)/(2a)

Facciamo un esempio per capire meglio:

Per risolvere l’equazione 2x² + 5 x + 2 calcoliamo il discriminante Δ e si ottiene:

Δ = b² – 4 ac

Δ = 5² – 4 * (2 * 2)

Δ = 25 – 16 = 9 > 0

Quindi, ci sono due soluzioni distinte:

  • x1 = -5 -√9 / (2*2) = -8/4 = -2
  • x2 = -5+√9 / (2*2) = -2/4 = -1/2

Attenzione quindi ai cambiamenti di segno nel calcolo del discriminante.

Non devi farti trarre in inganno se vedi comparire una x al cubo.

Infatti, un’equazione con la forma x³ + 2 x² + 8 x si può risolvere come un’equazione di secondo grado, se usi la fattorizzazione e fattorizzi ogni membro dell’espressione per x.

Così, l’equazione diventa  x ( x² + 2 x + 8).

x = 0 è una soluzione dell’equazione e, calcolando il discriminante di  x² + 2 x + 8, si troveranno una, molteplici o altre soluzioni per l’equazione.

Il caso delle equazioni frazionarie

Un’equazione frazionaria si fonda su un teorema: ogni frazione è pari a zero solo se il numeratore è zero e il denominatore è diverso da zero.

Se hai di fronte un’equazione con una frazione il tuo esercizio avrà questa forma: f(x)/g(x)=0.

Per risolvere un’equazione con una frazione, devi:

  • escludere i valori che annullerebbero il denominatore
  • ridurre i termini allo stesso denominatore
  • trasportare le incognite al primo membro e mettere che è uguale a zero
  • risolvere l’equazione
  • verificare che i valori ottenuti non annullino l’equazione

Ecco un esempio di risoluzione di un’equazione frazionaria utilizzando la moltiplicazione incrociata: x/x+1=x-1/x+2:

x(x+2)=(x-1)

(x+1)x(x+2)-(x-1)(x+1)=0

x²+2x-(x²-1)=0

x²+2x-x²+1=0

2x+1=0

x=-(1/2)

Non si tratta di un valore nullo, quindi la soluzione è  S=-(1/2).

Risolvere un’equazione con due incognite

La matematica è onnipresente nella nostra vita quotidiana, a partire dalle equazioni con due incognite. Le equazioni ti servano in ogni ambito della tua vita, anche se non te ne accorgi!

Nel caso delle equazioni con due incognite, il sistema di risoluzione cambia.

Non si tratta di determinare il valore di un’incognita, bisogna prima esprimere un’incognita in termini dell’altra (metodo di sostituzione), o cercare di determinare x per poi poter determinare y (metodo di combinazione).

In altri termini, con due incognite x e y si cerca quante x valgono una y o vice-versa. E’ esattamente quello che si fa quando si esprime x in funzione di y o y in funzione di x col metodo di sostituzione.

Proviamo a entrare nel dettaglio dei due metodi con l’aiuto di esempi.

Metodo di combinazione

Per determinare il valore di due incognite è necessario avere un sistema con due equazioni sia nel metodo di sostituzione sia nel metodo di combinazione.

Infatti, se prendiamo un caso semplice ossia x + y = 1, è impossibile determinare il valore di x e y solo con questa informazione. Ecco perché sono necessarie due equazioni.

Ecco un esempio per capire meglio la risoluzione per sostituzione con il sistema seguente:

{2 x + 4 y = 20

{7 x + 8 y = 52

In un primo momento, bisogna “armonizzare” le equazioni in modo da avere in entrambi lo stesso numero di x o lo stesso numero di y.

In quest’esempio è possibile moltiplicare ciascuno dei termini della prima equazione per 3.5 per ottenere lo stesso numero di x nella prima e nella seconda equazione, in questo caso 7x.

Tuttavia, in questo caso specifico è meglio procedere con le y, moltiplicando ognuno dei membri della prima equazione per 2.

La scelta tra le due incognite è arbitraria, dipende da quello che si preferisce fare.

Per la prima equazione abbiamo: 2 ( 2 x + 4 y ) = 20 * 2. 

Il sistema è il seguente:

{4 x + 8 y = 40

{7 x + 8 y = 52

Ora che abbiamo lo stesso valore di y nella prima e nella seconda equazione bisogna effettuare una sottrazione.

Possiamo sottrarre la prima dalla seconda e viceversa, il risultato non cambia.

Si ha, quindi:

  • (7 x + 8 y) – (4 x + 8 y) = 52 – 40
  • 7 x + 8 y – 4 x – 8 y = 12
  • 3 x = 12
  • x = 4

Ora che conosciamo il valore di x, possiamo sostituirlo nell’equazione di partenza con il valore 4. Il sistema di risoluzione è lo stesso di un’equazione di primo grado con una sola incognita.

Per la stessa equazione abbiamo:

  • 2 * 4 + 4 y = 20
  • 4 y = 20 – 8
  • y = 12 /4 = 3

Possiamo usare la seconda equazione per verificare il risultato:

  • 7 * 4 + 8 y = 52
  • 8 y = 52 – 28
  • y = 24 / 8 = 3

Le soluzioni dell’equazione sono: x=3 e y=4, ossia S = {4 ; 3}.

Metodo di sostituzione

Ci sono diversi metodi per risolvere un'equazione di secondo grado. I giochi di matematica spesso rispondono a calcoli complessi!

Il metodo di sostituzione è leggermente diverso. Si tratta di esprimere direttamente x in funzione di y o viceversa.

Riprendiamo l’esempio che abbiamo usato prima:

{2 x + 4 y = 20

{7 x + 8 y = 52

Nella prima equazione si può cercare di esprimere x in funzione di y.

  • 2 x + 4 y = 20
  • 2 x = 20 – 4 y
  • x = 10 – 2 y

Ora che abbiamo un valore di x in funzione di y possiamo usarlo nella seconda equazione.

  • 7 x + 8 y = 52
  • 7 ( 10 – 2 y) + 8 y = 52,
  • 70 – 14 y + 8 y = 52,
  • – 6 y = – 18 
  • y = 3

Poi possiamo riprendere la prima equazione e risolverla di nuovo come un’equazione con una sola incognita:

  • 2 x + 4 y = 20
  • 2 x + 4 (3) = 20
  • 2 x = 20 – 12
  • x = 4

Come puoi notare, si ottiene lo stesso risultato con entrambi i metodi.

Nota:

Tutti i sistemi di primo grado con due incognite possono essere risolti per combinazione o sostituzione.

In alcuni casi, uno dei due metodi sarà più veloce dell’altro.

Alcuni studenti preferiscono il metodo di combinazione, mentre per altri il metodo di sostituzione è più intuitivo.

La cosa più importante è usare il metodo con cui sei più a tuo agio.

Scrivere un problema sotto forma di equazione

Durante le lezioni di matematica, le verifiche o una prova d’esame può essere richiesto di scrivere un problema sotto forma di equazione.

Puoi trovare la soluzione a un problema geometrico se sai come risolvere le equazioni. Anche in geometria puoi usare le equazioni per risolvere un problema!

Il metodo è semplice e, di nuovo, deve essere seguito rigorosamente se vuoi essere sicuro di dare la risposta giusta:

  • leggere più volte l’enunciato per capire bene cosa ti viene chiesto
  • determinare l’incognita (o le incognite) che generalmente corrispondono al numero richiesto nella domanda posta dal problema
  • semplificare il testo e tradurlo in linguaggio matematico
  • risolvere l’equazione ottenuta
  • includere i passaggi intermedi, per far vedere il procedimento
  • verificare il risultato più volte
  • scrivere la risposta alla domanda

In alcuni casi si può trattare di un problema geometrico.

La procedura è la stessa, dovrai semplicemente fare uno schema aggiuntivo usando le tue conoscenze geometriche.

Ecco un tipico esempio di problema che può essere scritto sotto forma di equazione:

Tre cugini, Giovanni, Andrea e Luca hanno in tutto 60 anni. Qual è l’età di ognuno, sapendo che Luca ha tre volte l’età di Andrea e che Giovanni ha 10 anni meno di Luca?

In questo problema da risolvere l’incognita da trovare con l’aiuto delle equazioni è la rispettiva età dei tre cugini.

Ci sono diverse soluzioni se vuoi perfezionarti in matematica e approfondire in maniera duratura le competenze in fatto di equazioni.

I corsi privati con un insegnante a domicilio nella tua città, ad esempio matematica milano, ti aiuteranno a migliorare. Potrai imparare a risolvere le equazioni seguendo i tuoi ritmi e usando una metodologia ludica e interattiva.

Ripassare regolarmente facendo degli schemi riassuntivi o seguendo lezioni di matematica online su Youtube, insieme al tuo corso di matematica, ti aiuterà a fare progressi in matematica!

Condividi

I nostri lettori apprezzano questo articolo
Hai trovato le informazioni che cercavi?

Nessuna informazione utile? Sei sicuro?Ok, cercheremo di fare meglio la prossima volta!La sufficienza, menomale! Niente di più?Grazie! Scrivici le tue domande nei commenti!É stato un piacere aiutarti! :-) (media di 5,00 su 5 per 2 voti)
Loading...
avatar