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La risoluzione di un quesito matematico passo dopo passo

Di Catia, pubblicato il 31/08/2017 Blog > Sostegno Scolastico > Matematica > Come si Risolve un Problema di Matematica?

Sviluppare un certo spirito matematico è certamente la cosa più importante da fare se si vuole riuscire bene in materia.

Per risolvere un problema di matematica, sia per gli alunni delle medie sia per quelli delle superiori, bisogna dotarsi di questo spirito da matematico temuto da molte persone.

Infatti, come sottolinea un articolo apparso su Gravità Zero, la matematica fa paura e può persino provocare mal di testa a quelli in cui questa disciplina desta apprensione.

E’ necessario quindi presentare la materia in un altro modo, soprattutto perché ci sono molte soluzioni che possono far superare la paura.

Seguire dei corsi privati di matematica, per esempio, può aiutare uno studente a migliorare il suo livello in maniera durevole.

Anche perché non c’è via di fuga, almeno fino alla laurea: la matematica fa parte delle conoscenze fondamentali da acquisire per conseguire un titolo di studio obbligatorio!

Non si può sfuggire allo studio della matematica nella scuola dell'obbligo. Sin dalla più tenera età è fondamentale riuscire in matematica!

Per migliorare in matematica una delle prime cose da imparare è come risolvere i problemi.

Il problema sembra uno degli elementi fondamentali degli esercizi di matematica, sia in geometria sia in algebra.

Con motivazione, impegno e qualche dritta, la risoluzione dei problemi matematici non avrà più alcun segreto per te!

Definizione di un Problema di Matematica

Prima di lanciarti nella risoluzione di un problema di matematica devi capire di cosa si tratta.

Qualunque sia il tuo livello di scolarità e la difficoltà di un problema da risolvere, il principio è lo stesso.

Secondo il Garzanti, un problema matematico è “un quesito con cui si chiede di trovare, con un procedimento di calcolo, uno o più dati sconosciuti, partendo dai dati noti contenuti nell’enunciato del quesito.”

Questa definizione può essere declinata a seconda che tu sia nella scuola primaria, secondaria o all’università:

1.I problemi nella scuola elementare

Bisogna considerare il problema come un indovinello, un enigma da risolvere grazie alle informazioni fornite. Questa fase scolastica è molto importante perché permette ai bambini di familiarizzare con i numeri e imparare a contare.

Esempio di un problema in terza elementare:

Sono le 14. Alessandro e Tommaso vanno a fare una passeggiata nel parco. A che ora rientrano se la loro escursione dura 1.5 ore?

2. I problemi alla scuola media

Nella scuola superiore di I grado si scoprono le equazioni, le frazioni e le percentuali. I problemi diventano più complessi.

Esempio di problema in prima media:

Il caffè verde perde il 6% della massa durante la torrefazione. Che massa di caffè si ottiene con 18 kg di caffè verde?

3. I problemi al liceo

Dopo aver ottenuto la licenza di scuola media, gli alunni devono riuscire ad acquisire lo “spirito matematico”. I problemi a questo stadio, richiedono una metodologia rigorosa, anche se con le dovute distinzioni per l’indirizzo scelto al liceo (un conto è la matematica allo scientifico, un conto al classico o al linguistico).

Esempio di problema aperto per il secondo anno di liceo:

Nicola ha 75 metri di filo spinato. Con questo ci vuole recintare il giardino e vuole che sia rettangolare. Vuole anche che sia il più grande possibile, ovvero, vorrebbe piantarci il maggior numero possibile di piantine d’insalata, per esempio. Come deve fare?

Il livello di complessità varia nei tre esempi riportati. Tuttavia, ogni volta abbiamo un enunciato, dei dati e una domanda a cui bisogna dare una risposta.

Durante gli anni scolastici bisogna imparare a risolvere problemi di matematica sempre più complessi. Un problema può essere considerato come un enigma da risolvere!

Se non sei un “genio della matematica” e sei più un tipo da materie letterarie, dovresti pensare a un problema di matematica come un’inchiesta della polizia da chiudere con le prove che hai a disposizione!

Cavarsela con le lezioni di matematica

Il tuo insegnante di matematica non ti darà mai un esercizio che non rifletta le sue lezioni.

Ogni insegnante procede così: fa una lezione di matematica su un argomento preciso, poi ti fa fare degli esercizi (con dei problemi da risolvere) e valuta la tua comprensione della lezione con una verifica di matematica (che può includere altri problemi).

Questa logica matematica è quasi immutabile.

Capisci bene, quindi, che le lezioni di matematica sono la prima cosa da prendere in considerazione quando ci si vuole esercitare.

Prima ancora di pensare ala risoluzione di un problema, devi assicurarti di aver capito bene la lezione a cui è legato.

Per conoscere il contenuto del programma di matematica  a mena dito devi:

  • ascoltare attentamente il tuo insegnante per tutta la durata del corso
  • fargli delle domande su quello che non hai ben chiaro
  • rileggere gli appunti delle tue lezioni di matematica a fine giornata
  • imparare alla perfezione le definizioni importanti (come il Teorema di Pitagora)
  • fare delle schede per il ripasso per ogni nozione appresa.

Uno dei trucchi per riuscir in matematica è ripassare le nozioni apprese e fare delle schede riassuntive. Studiare bene gli appunti di matematica è fondamentale per risolvere i problemi!

Se vuoi rendere completo il tuo apprendimento o hai qualche difficoltà a seguire, puoi sempre prendere dei corsi privati di matematica con un insegnante a domicilio.

Il suo approccio personalizzato e la sua metodologia ti permetteranno di migliorare rispettando i tuoi tempi.

Prenditi il tempo per leggere l’enunciato del problema

Di fronte a un problema matematico, la prima cosa da fare è leggere bene l’enunciato.

Infatti, una sola incomprensione o l’omissione di un elemento importante del problema avrà un forte impatto sul risultato finale, e rischi di dare la risposta sbagliata.

La comprensione dell’enunciato è quindi l’elemento chiave dell’esercizio.

Non avere fretta e procedi per tappe:

  • metti in ordine l’ambiente di lavoro e opta per una scrivania dove tutto il materiale è a portata di mano (squadra, riga, calcolatrice…)
  • rileggi l’enunciato più volte per essere sicuro di non esserti perso niente
  • fai uno schema o un disegno che riassuma il problema
  • annota su un foglio di brutta gli elementi che già conosci
  • riassumi a parole tue quello che bisogna cercare di risolvere

Un ambiente di lavoro curato ti permette di concentrarti sul problema matematico da risolvere. Metti ordine alla scrivania prima di risolvere un problema matematico!

Queste tappe sono cruciali e non devono essere sottovalutate.

Un allenamento regolare ti permette di risolvere i problemi in maniera automatica e quindi di diventare più bravo in matematica!

Cercare i dati utili alla risoluzione del problema

L’enunciato del tuo problema di matematica è come un’inchiesta della polizia: piena di indizi.

Devi essere capace di trattare le informazioni correttamente e metterle insieme, così come farebbe un ispettore di polizia per risolvere un caso.

A qualcuno questa logica matematica può sembrare complicata. In questo caso, delle lezioni di matematica a domicilio e molta motivazione rappresentano un’ottima soluzione per fare progressi.

Per imparare a trovare degli indizi, prendiamo ad esempio questo problema di matematica di terza media, relativo alle equazioni:

Quando Laura è  nata, sua madre aveva 30 anni e suo fratello ne aveva 4. Oggi, Laura, suo fratello e sua madre hanno in totale un secolo (100 anni). 

  1. Se x è l’età di Laura, esprimi l’età di suo fratello e sua madre in funzione di x. 
  2. Quanti anni ha Laura?

Dopo aver letto l’enunciato più volte, si possono già annotare gli elementi noti.

Sappiamo che la mamma aveva 30 anni quando Laura è nata e che suo fratello ha 4 anni più di lei. Sappiamo anche che la somma delle loro età equivale a 100 anni. 

Poi, visto che si tratta di un’equazione bisogna determinare l’incognita.

L’incognita è X=età di Laura.

L’età della mamma è uguale a X+30.

L’età del fratello è uguale a X+4.

Questo problema può sembrare semplice per chi ha un diploma di liceo scientifico, ma la logica è la stessa per tutti i problemi.

Testare diverse ipotesi e fare dei tentativi

Appena hai scritto sul foglio di brutta tutti gli indizi, devi metterli in pratica.

E’ in questo preciso istante che le lezioni di matematica del tuo professore del liceo o del tuo insegnante privato ti saranno utili!

Se hai bisogno, è facile trovare sul web l’insegnante più adatto alle tue esigenze: digita ad esempio “matematica milano” per trovare subito tutti i profili disponibili nella tua città.

Prendi la calcolatrice (o la squadra se si tratta di un problema legato alla geometria) e prova diverse ipotesi. 

I calcoli per la soluzione di un problema matematico sono più facili da fare se usi la calcolatrice. La calcolatrice sarà la tua migliore alleata in matematica!

Questa tappa fondamentale richiede molta serietà e concentrazione.

Puoi sempre richiamare alla mente gli esercizi fatti in precedenza. Ci sono sicuramente delle caratteristiche in comune con il problema che devi risolvere.

E’ così che metti in pratica quello che hai imparato in matematica e sfrutti gli automatismi necessari a ogni processo logico.

Sviluppi anche la tua capacità di ragionamento, la memoria e, più in generale, le tue facoltà cognitive.

Verifica i risultati e riformula a modo tuo la soluzione

Sei sicuro che il risultato del tuo problema è giusto?

Prenditi tutto il tempo per fare i calcoli una seconda volta, o anche una terza.

Prima di scrivere la tua risposta definitiva sulla copia del tuo test o sul tuo quaderno degli esercizi di matematica, cerca di formularla in brutta copia.

Infatti, una risposta in matematica non contiene solo delle cifre! Quando si spiega un teorema o si trova la soluzione di un problema, bisogna saperlo esporre.

Scrivi una frase coerente ed evita gli errori d’ortografia, che possono essere malvisti, anche dal tuo insegnante di matematica!

A scuola ti avranno spesso parlato della trasversalità delle materie.

Per tornare al nostro problema di equazione, servendoti delle competenze che il tuo insegnante di matematica ti ha permesso di acquisire, sarai in grado di fare i calcoli che mostrano che Laura ha 22 anni, sua madre 52 e suo fratello 26!

Grazie a una buona metodologia, il problema non esiste più!

Prove Invalsi di matematica alle elementari

La matematica, insieme all’italiano, è uno dei saperi fondamentali che ci portiamo dietro non solo a scuola ma in ogni ambito della nostra vita.

Nel sistema scolastico italiano devono essere verificate la capacità di risolvere problemi di matematica da parte dei bambini di seconda e di quinta elementare. Questo viene fatto intorno a maggio con le prove Invalsi.

La matematica fa parte delle conoscenze fondamentali che vengono testate con le prove Invalsi. I bambini imparano sin dalle elementari a risolvere i problemi di matematica!

Con queste prove il Ministero dell’Istruzione, il Miur, testa le conoscenze acquisite in italiano e matematica da parte degli alunni di :

  • seconda e quinta elementare
  • prima e terza media
  • secondo anno di scuola superiore

Per l’anno scolastico 2017/2018 le prove Invalsi includeranno anche una prova in lingua inglese!

Vediamo alcuni dei quesiti di matematica e geometria per bambini che sono stati fatti alla scuola primaria.

I bambini hanno 75 minuti di tempo per rispondere a 25 domande che sono sia a risposta multipla sia a risposta aperta.

Nel primo tipo di domanda devi scegliere la risposta corretta tra più opzioni. Nel secondo caso spetta a te risolvere il problema e scrivere l’enunciato a parole tue!

Ecco l’esempio di un problema di matematica alla prova invalsi per la seconda elementare:

Un coniglio e una rana cominciano a saltare nello stesso momento. Il salto del coniglio è lungo il doppio di quello della rana. Ogni volta che il coniglio fa un salto, anche la rana fa un salto. 

D: In quale casella si incontrano?

In questo caso c’è una rappresentazione del coniglio e della rana e basta contare un salto per la rana e due per il coniglio per vedere dove si incontrano.

Le 25 domande per la seconda elementare includono molti quesiti dove bisogna osservare attentamente le figure per capire a colpo d’occhio o usando la logica matematica qual è la risoluzione del problema.

Ecco una traccia per le quinte elementari:

La signora Maria ha invitato alcune amiche per un tè e ha offerto loto una torta. Alla fine del pomeriggio sono stati mangiati i 3/8 della torta. Quali delle seguenti figure rappresenta la torta rimasta?

Per rispondere alla domanda lo studente di quinta elementare deve sapere come trovare la frazione complementare a 3/8 che è 5/8.

Ragionando su questa frazione deve arrivare a pensare che si tratta di poco più della metà della torta e scegliere il grafico corrispondente.

Il segreto per superare le prove Invalsi di matematica è leggere attentamente i quesiti per capire che cosa ti chiede il problema, fare bene i calcoli e osservare con molta attenzione le figure.

Prove di matematica alle medie

Nelle prove Invalsi sono previste 29 domande di matematica che i ragazzi delle scuole medie devono superare e riguardano questi argomenti:

  • numeri
  • spazio e figure
  • relazioni e funzioni
  • dati e previsioni

Impara a risolvere i problemi di matematica grazie al tuo insegnante privato. Sei pronto per le prove di matematica delle medie?

Ecco un problema di matematica per le passate edizioni delle prove Invalsi di terza media:

Un vasetto di yogurt è ottenuto mescolando per il 90% yogurt bianco e per il 10% la marmellata. La marmellata è costituita dal 60% di frutta e dal 40% di zuccheri aggiunti.

D: Qual è la percentuale di frutta nel vasetto?

Ci sono 4 opzioni: 6%, 10%, 54% o 60%.

Per rispondere a questa domanda devi tenere a mente la composizione della marmellata e trovare l’incognita della percentuale di frutta contenuta nello yogurt.

Un consiglio: chiedi al tuo insegnante di matematica di ripassare le proporzioni!

A partire dall’anno scolastico 2o17/2018 le prove Invalsi verranno fatte prima degli esami di terza media e non durante, e dovrai superarli per essere ammesso agli esami!

Ti conviene rivedere tutto il programma e fare molti esercizi per imparare a risolvere i problemi di matematica entro Aprile!

In che cosa consiste la prova di matematica agli esami di terza media?

A differenza del test Invlasi che viene fatto dall’omonimo istituto ed è lo stesso per tutta Italia, la prova di matematica degli esami di terza media vine scelta dalla commissione di esame, quindi dai tuoi professori.

Una traccia tipo potrebbe chiederti di risolvere:

  • problemi di algebra
  • problemi di geometria
  • problemi sul calcolo delle probabilità
  • problemi di scienze

Ecco un problema di matematica che potresti affrontare all’esame di terza media:

Un’urna contiene palline tutte uguali, con la stessa forma e lo stesso peso. Cambia solo il colore: 20 palline bianche, 30 rosse e 50 verdi. Calcola la probabilità che estraendo una sola pallina questa sia rispettivamente: bianca, rossa e verde.

Per prima cosa devi calcolare il totale delle palline che contiene l’urna: 20+30+50=100

Poi fai il calcolo della probabilità P per ogni colore di pallina:

pallina bianca: P=20/100=1/5

pallina rossa: P=30/100=3/10

pallina verde: P=50/100=1/2

Ogni volta che tiri fuori una pallina dall’urna c’è una probabilità su 2 che esca fuori una pallina verde.

L’esame contiene altri problemi di matematica da risolvere. Se hai bisogno di aiuto chiedi al tuo insegnante di matematica di ripassare il programma facendo insieme molti esercizi.

I problemi di matematica per gli Invalsi e gli esami di maturità alle superiori

Al secondo anno delle scuole superiori si affrontano le prove Invalsi che includono italiano e matematica, dal 2018 anche l’inglese.

Se la matematica non è il tuo forte e in realtà non sai proprio che pesci prendere per risolvere i problemi più complessi, sei piuttosto preoccupato per gli Invalsi.

Anche se gli Invalsi non fanno media alle superiori, la paura della matematica è tale che anche queste prove generano molta apprensione nei ragazzi.

Non è mai troppo tardi per prendere lezioni private e imparare a risolvere i problemi di matematica. Non farti prendere dalla paura per la matematica!

Ecco alcuni dei problemi di matematica che i ragazzi del secondo anno delle scuole superiori devono affrontare:

Nell’atrio di un palazzo c’è una scala formata da 4 gradini alti 16 cm e profondi 30 cm. Per permettere a carrozzine, passeggini ecc. di accedere al palazzo, si deve costruire uno scivolo di legno da appoggiare sulla scala. 

D: Quale deve essere la lunghezza dello scivolo?

Ci sono 4 opzioni:

  • A , 102 cm
  • B, 136 cm
  • C, 170 cm
  • D, 184 cm

Un bel ripasso di geometria con il tuo insegnate di matematica potrebbe esserti molto utile per risolvere questo problema.

Vediamo come te la cavi con gli insiemi:

Nelle classi prime di una scuola ci sono 100 studenti. Tutti studiano almeno una lingua straniera. 

  • 50 studiano inglese
  • 40 studiano francese
  • 40 studiano spagnolo

Fin qui tutto facile, ma ci sono altri studenti:

  • 8 studiano solo l’inglese e il francese
  • 6 studiano solo l’inglese e lo spagnolo
  • 4 studiano solo il francese e lo spagnolo

Devi indicare: il numero x di studenti che studiano tutte le lingue, il numero y di studenti che studiano solo il francese, la probabilità che uno studente, preso a caso, studi solo l’inglese.

Se sei al liceo scientifico hai preso consapevolmente la decisione di fare della matematica la seconda prova agli esami di maturità.

Matematica e fisica sono infatti prove di indirizzo su cui gli studenti del liceo scientifico devono prepararsi.

I ragazzi devono risolvere un problema di matematica a scelta e rispondere alle 5 domande del questionario.

Le tracce di matematica sono piuttosto complesse perché ci sono diverse domande sullo stesso tema. Nel 2017 uno dei quesiti era questo:

Un dado ha la forma di un dodecaedro regolare con le facce numerate da 1 a 12. Il dado è truccato in modo che la faccia contrassegnate dal numero 3 si presenti con una probabilità p doppia rispetto a ciascun’altra faccia. Determinare il valore di p in percentuale e calcolare la probabilità che in 5 lanci del dado la faccia numero 3 esca almeno 2 volte. 

Se non sai da dove cominciare a risolvere questo problema di matematica, ti conviene correre a i ripari e rivedere tutto il programma e fare degli esercizi con l’aiuto di un insegnante competente.

Con Superprof puoi trovare l’insegnante ideale per le tue lezioni di matematica!

Esercitarsi con i problemi di matematica

Che tu sia uno studente delle scuole elementari, delle medie o del liceo, devi assolutamente imparare a risolvere i problemi di matematica.

Con molto esercizio e la guida di un insegnante preparato puoi riuscire a risolvere tutti i problemi di matematica. Tutti i problemi hanno una soluzione, specie quelli di matematica!

Tieni a mente alcuni suggerimenti per superare le prove Invalsi, gli esami o le verifiche di matematica:

  • leggi bene la traccia e spiega a parole tue il problema che ti chiede di risolvere
  • identifica l’incognita e fai la lista dei termini noti
  • usa solo i dati che ti servono a risolvere il problema
  • esegui i calcoli in brutta copia
  • fai la prova dei tuoi calcoli
  • scrivi la risposta in modo comprensibile e senza errori di ortografia

Per far fronte ai problemi di matematica c’è una sola soluzione: esercitarsi.

Fai degli esercizi, di algebra, geometria, calcola le probabilità, usa le espressioni, le equazioni differenziali…

Ci sono molti siti online dove ti puoi esercitare sulle vecchie tracce degli esami o dei problemi di matematica che potrebbero essere utili nella tua vita quotidiana.

Se hai delle lacune cerca di recuperare il programma il prima possibile grazie all’aiuto di un insegnante che può farti un corso personalizzato.

Ogni problema ha la sua soluzione!

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