“L'essenza della matematica è la libertà. "Georg Cantor

Un numero primo è un numero intero naturale che ammette solo due divisori distinti e positivi: 1 e se stesso. Secondo questa definizione, 0 e 1 non sono numeri primi poiché 0 è divisibile per tutti i numeri interi positivi e 1 è divisibile solo per un singolo numero intero positivo. Alcuni matematici hanno ammesso 1 come numero primo, ma questa teoria è stata abbandonata all'inizio del 20 ° secolo. La definizione del numero intero è opposta a quella del numero composto che è un numero intero, prodotto da due numeri interi rigorosamente maggiori di 1.

Moltissimi studenti delle scuole superiori lotta quotidianamente con la matematica. Lezioni private e un pizzico di curiosità possono rimediare a questo problema di apprendimento! Potrebbe essere per curiosità che ti sei imbattuto in questo articolo, quindi rimani con noi, potresti imparare qualcosa di utile!

In questo articolo ci occuperemo di numeri primi e impareremo a riconoscerlo!

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Come sapere se un numero è un numero primo?

Quando cerchi di risolvere un problema per tre volte e ogni volta ottieni un risultato differente.
Quando cerchi di risolvere un problema per tre volte e ogni volta ottieni un risultato differente.

La nozione di numero primo è una delle basi dell'aritmetica e sicuramente devi aver sentito parlare molto di questo concetto a scuola! Esistono molte applicazioni pratiche dell'aritmetica e soprattutto dei numeri primi. Quindi, per tutta la vita, a seconda della tua professione, ti troverai di fronte a questa nozione matematica!

Cosa sono i numeri primi? Questa domanda non ha una risposta chiusa poiché non esiste un elenco esaustivo e definitivo dei numeri primi.

Conosciamo questa nozione fin dall'antichità, grazie al teorema di Euclide sui numeri primi. D'altra parte, è possibile conoscere i numeri primi delimitando un inizio e un punto di fine.

Da 0 a 100, ad esempio, i numeri primi sono 25: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Puoi provare a ricordare questo elenco, abbastanza facile da memorizzare dato che ci sono 25 numeri primi tra 0 e 100 e quindi integrarli nella tua memoria a lungo termine non è poi cosa impossibile!

Test di primalità

I primi metodi per il calcolo dei numeri primi sono chiamati test di primalità e si basano sul test di divisione per tutti i numeri inferiori alla radice quadrata del numero scelto: Se è divisibile per uno di essi, è composto, se non è divisibile per uno di essi, è il primo. Tuttavia, questo algoritmo è lungo e noioso. Molte divisioni sono inutili, specialmente quella per 4 se il numero non è divisibile per 2.

Il crivello di Eratostene

Basato sul metodo dei test di divisione, il crivello di Eratostene fornisce un elenco di numeri primi inferiore a un determinato valore.

Potresti aver imparato questo metodo a scuola, per cui eccoti un promemoria: iniziamo formando l'elenco di numeri interi da 2 a n (120 nell'esempio). Un numero è primo se è il primo numero nell'elenco non ancora raggiunto (spoiler: il primo è sempre 2!), quindi devi trovare tutti i numeri interi multipli del numero 2, iniziando con il suo quadrato. I due passaggi devono essere ripetuti fino a quando non troviamo multipli di numeri maggiori della radice quadrata di n (qui 120). La radice quadrata di 120 equivale a circa 10,9.

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Altri algoritmi per trovare un numero primo

Esistono altre possibilità per individuare un numero primo, a partire da una variante del crivello di Eratostene, chiamato crivello di Sundaram. Il crivello di Sundaram consiste nell'elencare numeri naturali dispari composti da sequenze aritmetiche. Per complementarità, è quindi possibile dedurre i numeri primi.

Ma ci sono ancora altri metodi:

  • Il crivello dei campi di numeri generale,
  • Il test di primalità di Solovay-Strassen,
  • Il test di primalità di Miller-Rabin,
  • L'algoritmo AKS,
  • Il primo di Proth,
  • Il primo di Woodall,
  • Il primo di Cullen , etc.
  • Numeri primi speciali
Ci sono 10 numeri primi in un mese di 30 giorni e 11 in un mese di 31 giorni!
Ci sono 10 numeri primi in un mese di 30 giorni e 11 in un mese di 31 giorni!

Come sapere se un numero è composto o primo?

Esistono numeri primi particolari, definiti da vincoli particolari.

I numeri primi di Pitagora

A volte i numeri primi della forma 4n + 1 (con n, intero naturale) sono chiamati numeri primi di Pitagora.

Ad esempio, il 5 è definito un numero primo di Pitagora. Si dice che un numero primo dispari sia di Pitagora se è la somma di due quadrati.

I numeri primi di Mersenne

M_p = 2 ^ p - 1

I numeri primi di questa forma in cui p è un numero intero naturale sono chiamati numeri primi di Mersenne. Oggi sono noti 50 numeri primi di Mersenne, ma altri sono ancora ricercati utilizzando il test di primalità di Lucas-Lehmer. L'ultimo conosciuto è stato scoperto nel gennaio 2018 … forse troverai tu il prossimo!

I numeri primi di Fermat

I numeri del modulo F_n = 2 ^ {2 ^ n} + 1 sono considerati numeri di Fermat.

Tuttavia, l'F 5 è considerato solo semi-primo poiché è divisibile per 641. I ricercatori continuano la loro ricerca su un altro numero di Fermat.

Numeri primi gemelli

Se due numeri primi sono diversi da 2, allora vengono chiamati gemelli.

Ad esempio, 3 e 5 sono gemelli, 5 e 7 sono gemelli e 11 e 13 sono gemelli, ma ci sono infiniti numeri primi gemelli.

A cosa servono i numeri primi?

Ad esempio, i numeri primi vengono utilizzati per crittografare una firma elettronica.
Ad esempio, i numeri primi vengono utilizzati per crittografare una firma elettronica.

I numeri primi hanno diversi usi. In un calcolo frazionario, la scomposizione dei fattori primi semplifica l'attività e può aiutare a semplificare una formula matematica. I numeri primi sono stati a lungo visti come un argomento puramente matematico, ma questo è cambiato negli anni '70 con l'arrivo di nuovi sistemi di crittografia. Fino ad allora, la crittografia si basava sulla stessa chiave per crittografare e decrittografare un messaggio.

Questa era chiamata crittografia simmetrica. Alla fine degli anni '70, fu sviluppato un sistema di crittografia asimmetrica grazie alle proprietà dei numeri primi e della fattorizzazione. Vengono quindi utilizzate due chiavi: una per crittografare, l'altra per decifrare. Il prodotto di due numeri interi grandi (200 cifre) viene utilizzato per la chiave che numera. E per calcolare la chiave di decodifica, devi conoscere i suoi due fattori primi.

Questo è il sistema ancora usato oggi per creare firme digitali. I numeri primi hanno permesso di risolvere problemi aritmetici come il teorema dei due quadrati, il teorema dei quattro quadrati o la legge di reciprocità quadratica. Inoltre, si trovano nei numeri interi di Gauss e nei numeri interi di Eisenstein.

I numeri primi sono ancora circondati dal mistero! Se nella scuola media e superiore restiamo concentrati sulla frazione, sull'equazione, sul logaritmo, sui numeri razionali o sulla divisione euclidea, i matematici non hanno finito di scoprire le proprietà dei numeri primi e sorgono ancora delle problematiche:

  • I problemi di Landau,
  • La congettura di Goldbach,
  • La congettura dei numeri primi gemelli,
  • La congettura di Legendre,
  • L'esistenza di un infinito di numeri primi nella forma n2 + 1,
  • L'esistenza di un'infinità di numeri primi di Sophie Germain,
  • La congettura di Polignac,
  • L’ipotesi H di Schinzel,
  • La congettura di Bateman-Horn,
  • Non sappiamo se ci sono infiniti numeri primi di Fermat o Mersenne o Fibonacci,
  • Non sappiamo se ci siano infiniti numeri primi fattoriali o primitivi,
  • Una congettura di Daniel Shanks: la congettura afferma che tutti i numeri primi compaiono nella sequenza di Euclide-Mullin,
  • La spirale di Ulam (o orologio Ulam) non è ancora completamente spiegata.

Queste e altre congetture circondano affascinante mondo dei numeri primi!

Come memorizzare i numeri primi?

No, la matematica non è per tutti!
No, la matematica non è per tutti!

Le tecniche qui menzionate possono essere utilizzate per memorizzare qualsiasi numero reale. È stato riconosciuto che per memorizzare una serie di numeri, ad esempio i primi 25 numeri primi, è necessario fare appello ai propri sensi e usare le proprie emozioni.

Ad esempio, possiamo mandare a memoria un numero primo associandolo a un oggetto o a un’idea: questo è un sistema ampiamente utilizzato a scuola, e presenta infatti una certa efficacia!

Se hai una memoria visiva, puoi quindi associare i numeri in questo modo:

  • 0 a un cerchio,
  • 1 a una matita o a un bastone,
  • 2 a un cigno,
  • 3 a un cavalluccio marino o a un cammello,
  • 4 a una barca a vela,
  • 5 a un serpente, a una S o a un gancio,
  • 6 a una lumaca,
  • 7 a una scogliera vista di lato,
  • 8 a una clessidra,
  • 9 a un pallone appeso a una corda.

Dai libero sfogo alla tua immaginazione creando delle storie da questi oggetti!

Più complicato, ma utile se riesci a memorizzare le parole meglio dei numeri, è possibile associare una parola a ciascun numero da 0 a 100 e creare frasi con queste parole!

Ma tra di noi è meglio imparare a trovare i numeri primi piuttosto che cercare di memorizzarne una gran quantità, a meno che tu non voglia stupire i tuoi amici e la tua famiglia!

Conoscevi le formule per trovare rapidamente i numeri primi?

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Igor

Traduttore e insegnante, mi occupo anche di montaggio video e recitazione. Amo la musica, dal pop italiano alla classica. Curiosità è l'anagramma del mio nome.