“La verità è perfetta per la matematica, per la chimica e per la filosofia, ma non per la vita!" Ernesto Sabato (1911-2011)

Gli studenti universitari appartenenti ai diversi indirizzi scientifici devono affrontare lo studio di innumerevoli argomenti: il logaritmo naturale della funzione esponenziale, fondamenti di algebra e geometria, etc.  A  volte, tuttavia,  per questi studenti è davvero difficile rappresentarsi la matematica concretamente. Va infatti detto che i corsi di matematica non sempre così concreti, ed è difficile scorgerne un’applicazione pratica. Ma tranquilli: la matematica è una disciplina accessibile a tutti, sebbene i risultati differiscano notevolmente da contesto a contesto. Secondo una recente indagine condotta nel 2015, infatti, sembrerebbe che gli studenti dei paesi asiatici abbiano risultati migliori in matematica rispetto ai loro compagni europei, mentre in America Latina troviamo i punteggi più bassi. In questo articolo di Superprof ci occuperemo di un tema molto importante dell’algebra, ossia dei numeri irrazionali!

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Algebra, una parte importante della matematica

L’Algebra è una disciplina molto bella!
L’Algebra è una disciplina molto bella!

In matematica è noto che i numeri siano assolutamente essenziali! Ma, questo va detto, non tutte le operazioni e le procedure sono utilizzate allo stesso modo, nel senso che un’addizione non ha le stesse caratteristiche rispetto all’utilizzo dei numeri complessi, e alcuni numeri sono più complessi di altri ... In generale è possibile distinguere tra le varie tipologie di disciplina in base  ai diversi livelli di complessità:

  • Algebra non commutativa
  • La nuova algebra
  • L'aritmetica
  • Il calcolo formale
  • Geometria algebrica
  • Algebra omologica
  • Algebra lineare
  • La struttura algebrica
  • Il teorema dell'algebra

E molte altre discipline!

In altre parole, l'uso dei numeri è molto vario ed è necessario un apprendimento meticoloso. Solo per affrontare un programma approfondito di algebra ci vorrebbero centinaia di ore! Ma alcuni aspetti, come i numeri immaginari, hanno proprietà molto particolari e, per definizione, complesse. Vuoi saperne di più? Quindi procediamo! E precisamente, nella loro forma algebrica, i numeri complessi sono presentati nel modo seguente, con la formula:

a + ib

Il numero a corrisponde alla parte reale, mentre la parte b corrisponde alla parte immaginaria. Bisogna prima capire che i numeri complessi includono sia numeri reali che numeri immaginari. Più esattamente, troviamo le seguenti denominazioni:

  • N = set di numeri naturali,
  • Z = set di numeri interi relativi,
  • D = set di decimali,
  • Q = set di numeri razionali,
  • R = insieme di numeri reali,
  • C = insieme di numeri complessi.

Il numero immaginario puro, chiamato "i", fa parte del corpo di numeri complessi, a cui applichiamo il quadrato -1. Spiegheremo più in dettaglio in questo articolo i dettagli di questo affascinante numero. Diamo un'occhiata più da vicino alla questione!

Il numero i: proprietà e definizione!

Spesso sconosciuto agli studenti del liceo e dell’università, il numero i compare nei programmi avanzati di matematica, suscitando qualche perplessità … il numero i ... una lettera dell'alfabeto, non un numero!

Impara la matematica procedendo per gradi

Se non si padroneggiano i numeri interi naturali, non è necessario approfondire i numeri relativi interi...
Se non si padroneggiano i numeri interi naturali, non è necessario approfondire i numeri relativi interi...

Il numero i è definito in matematica come un numero complesso la cui comprensione è semplice, ma richiede una certa  capacità di astrazione.

Proviamo a spiegarlo, allora!

In matematica alcune equazioni di secondo grado non hanno una soluzione reale perché non esiste un numero reale il cui quadrato è negativo. Ciò significa che non si può moltiplicare un valore per se stesso senza produrre un risultato positivo: ad esempio 2² è 4, proprio come (-2) ².

Per comprendere questa proprietà matematica dobbiamo tornare alle lezioni di matematica di base nelle quali impariamo la regola relativa ai segni: moltiplicare, sottrarre, dividere o moltiplicare per un numero di segno positivo da un risultato positivo, al contrario, i numeri con segni diversi danno risultato negativo, mentre due numeri di segno negativo moltiplicati tra loro danno un risultato di un segno positivo.

Se il teorema matematico vuole che il prodotto di due numeri negativi sia positivo, allora deduciamo che il quadrato di qualsiasi numero, anche quelli negativi, è positivo.

Quindi, tra le figure geometriche, il teorema di Pitagora e quello Talete, possiamo definire le radici quadrate come segue: la radice quadrata di x è il numero che, elevato al quadrato, è uguale a x.

Se n = √x, allora n² = x. Quindi abbiamo √9= 3.

Nella storia della matematica la ricerca di radici quadrate per numeri negativi ha portato all'invenzione di numeri complessi come i. L'insieme di numeri complessi è considerato come un'estensione dell'insieme di numeri reali contenenti un numero immaginario indicato con esponente (a; b) tale che i = radice quadrata di -1 e i² = -1, con il quadrato di ( -i) uguale a -1.

Il principio è che qualsiasi numero può essere scritto nella forma a + i b, dove a e b sono numeri reali, negativi o positivi.

La radice quadrata di -4 è quindi uguale a 2i.

Qualsiasi numero della forma b i, dove b è diverso da 0 è un numero puro immaginario.

Ecco perché i numeri "radice quadrata di -4 = 2i", "radice quadrata di -16 = 4 i" etc. sono numeri immaginari.

Se la radice quadrata di -1 non esiste, non possiamo stimare decimali esatti o approssimativi come facciamo per le radici di numeri positivi (esempio, radice quadrata di 5 = 2.236).

Il numero i è quindi un concetto che consente di concepire un'intera famiglia di radici quadrate di numeri negativi.

Qualche domanda:

  • Che numero otteniamo se eleviamo 3 al quadrato?
  • Quale di questi due numeri ha un quadrato di -16 (-4 o 4i)?

Qual è la storia del numero i?

I numeri complessi emergono nel XVI secolo, quando Gerolamo Cardano (1501-1576), un matematico italiano, introdusse per risolvere un'equazione di terzo grado.

Raffaele Bombelli (1526-1572 o 1573) è il primo matematico ad avere elaborato regole di calcolo su "numeri impossibili" in algebra, in cui compaiono le prime proprietà di numeri complessi.

Einstein, genio della matematica, usò il numero i per costruire la sua teoria della relatività.
Einstein, genio della matematica, usò il numero i per costruire la sua teoria della relatività.

Il numero i deriva dalla ricerca di soluzioni non reali per equazioni di terzo grado, equazioni polinomiali con radice cubica.

Nel 1637, il filosofo francese René Descartes, in Italia come conosciuto come Cartesio (1595-1650), battezzò questi valori impossibili di numeri immaginari.

Più avanti la notazione i apparve nel 1777, sotto impulso del lavoro di Leonhard Euler (1707-1783) - sì, l'inventore del numero e per calcolare la funzione esponenziale! -, per i numeri che si qualificano come impossibile o immaginario.

Durante il diciannovesimo secolo, grazie in particolare alle opere di C. F. Gauss (1777-1855), questi numeri complessi e puri finirono per essere considerati come numeri a sé stanti.

L'interesse di numeri complessi come e o i è di poter, secondo Augustin Louis Cauchy (1789-1857), "scrivere in forma abbreviata risultati piuttosto complicati nell'aspetto", con "una combinazione di segni algebrici che non significa nulla di per sé ".

Facilitando il calcolo algebrico, vengono introdotti anche numeri complessi nella rappresentazione geometrica per facilitare i calcoli.

Perché usare i numeri irrazionali puri?

L'uso e l'applicazione di numeri complessi sono molteplici, anche se quando si eseguono  esercizi di matematica non si comprende troppo l'utilità di calcolare numeri immaginari!

Sapevi che gli ingegneri informatici hanno usato il numero i per costruire computer?
Sapevi che gli ingegneri informatici hanno usato il numero i per costruire computer?

Ma perché  sono stati creati i numeri irrazionali?

In effetti, il numero i consente di risolvere equazioni che non hanno una soluzione reale.

Ma in matematica, è un errore pensare che un'equazione non abbia soluzione, poiché dipende dall'insieme dei numeri considerati.

Ecco due esempi:

  • L'equazione x + 8 = 1 non ha soluzione negli insiemi di numeri naturali (dove x è uguale a -7), ma nell'insieme di numeri relativi.
  • L'equazione x² = 2 (x = radice di 2) non ha soluzione nell'insieme dei numeri razionali, ma ne ha uno nell'insieme dei numeri irrazionali.

E perché non immaginare che 2 + 2 vale 10?

In effetti, grazie al numero irrazionale annotato i, è stato possibile risolvere assolutamente tutte le equazioni, siano esse composte da numeri interi, irrazionali o decimali.

L'uso del numero irrazionale ha anche prodotto dei progressi nella ricerca fisica e negli studi sull’elettricità: il numero i ha permesso lo studio dei circuiti stampati dei computer ed è quindi alla base della rivoluzione informatica del 20 ° secolo.

Il passaggio a numeri puramente complessi e irrazionali consente la risoluzione di problemi insolubili senza questo numero i, ad esempio per alcuni integrali.

I numeri complessi vengono utilizzati anche dagli ingegneri quando devono calcolare le forme d'onda (acustica o elettronica) o il flusso (aerodinamico, idrodinamico) e vengono utilizzati nell'uso dei radar, imaging o sonar).

È con l'aiuto di numeri complessi che gli ingegneri possono descrivere il comportamento dei circuiti elettronici.

Dove imparare il numero i?

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Igor

Traduttore e insegnante, mi occupo anche di montaggio video e recitazione. Amo la musica, dal pop italiano alla classica. Curiosità è l'anagramma del mio nome.