"Se le persone non credono che la matematica sia semplice, è solo perché non si rendono conto di quanto sia complicata la vita." John Von Neumann

Se sei una di quelle persone che hanno mai capito con difficoltà la "mate", dalla citazione potrà sembrarti complicato capire qualcosa... La matematica c'era fin dall’alba dei tempi, in base alla scoperta dell'osso di Ishango, che forse rappresenta la prima prova della conoscenza di primi numeri primi e della moltiplicazione, ma l'argomento rimane controverso. Mentre la matematica rimane un mistero secondo molti di noi, alcuni la cosniderano un ottimo modo se si vuole comprendere e analizzare il nostro mondo e i propri universi. In questo articolo scoprirai cos'è un numero perfett0 e a cosa serve (spoiler: difficilmente ti permetterà di migliorare parte della tua vita quotidiana, difficilmente si può considerare una formula magica!).

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A che cosa servono questi numeri perfetti?

"È un po’ come l’elfico, non riesco a leggerlo!”
"Assomiglia all’elfico, non so come, ma faccio parecchia fatica a leggerlo!”... Trovato una formula che lo risolva?

Un numero viene definito perfett0 se l'addizione fra i suoi divisori è uguale al numero stesso. Ovviamente viene escluso il numero in sé. Il primo numero perfett0 nell'ordine partendo da zero è 6: questo numero infatti è uguale all'addizione fra 1,2,3, della cui addizione il risultato è...6!  Dopo il 6 troviamo il 28, i cui divisori sono 1,2,4,7,14, della cui addizione il risultato è appunto 28!

Ecco il modo migliore se vuoi calcolare i numeri primi! E calcolare il pi greco!

Una breve storia

Quelli perfetti sono legati alla scoperta di numeri primi detti di Mersenne. In effetti, la Proposizione 36 del Libro IX degli Elementi di Euclide afferma che se il numero di Mersenne 2n-1 è primo, allora 2n-1 (2n - 1) è un numero perfett0. Cartesio, poi, confermò in una lettera a Mersenne che ogni coppia perfetta è euclidea, senza però dimostrare la sua teoria. D'altra parte, il matematico svizzero Eulero fu il primo a dare una dimostrazione dell'osservazione di Cartesio.

Ti sei già perso in queste cifre? Lo capiamo. Ognuno ha i suoi problemi e i propri limiti.

La combinazione di risultati fra Euclide e Eulero fornisce una completa caratterizzazione di quei numeri che vengono definiti perfetti. I primi quattro "perfetti" sono noti fin dall'antichità. Si trovano nelle opere di Nicomaco di Girasa e di Teone de Smirne, mentre il quinto numer0 perfetto è menzionato in un codice latino del 1456. Il sesto e il settimo numer0 perfett0 furono trovati da Cataldi nel XVI secolo e l'ottavo nell'anno 1772 da Eulero. Così, all'inizio degli anni '5o, conoscevamo 12 numeri perfetti, e nell'appena chiusa XX secolo  la ricerca si è sviluppata  enormemente grazie a tecniche sempre più sofisticate e all'uso del computer negli anni '9o (soprattutto grazie al sistema GIMPS).

Ma cos’è il numero aureo?

Ma a cosa servono i numeri perfetti?

Se i "primi" sono riconosciuti come base stessa dell'aritmetica da molti matematici, i "perfetti" mancano di un'utilità particolare, nel senso che mai sono usati da chi vuole risolvere un'equazione, per la fattorizzazione e nemmeno in ambito della crittografia. In precedenza erano considerati superiori a qualunque altro e alcuni attribuirono loro un ruolo mistico: "Sei è un numer0 perfett0 in sé, non è poiché Dio ha creato tutte le cose in sei giorni, ma Dio ha creato tutte le cose in sei giorni poiché quel numer0 è perfett0”, Sant'Agostino nella "La città di Dio" (42o d.C.). I "primi" sono uno fra i misteri della questa disciplina e la scoperta di nuovi "perfetti" affascina ancora oggi molti matematici. Le congetture in relazione ai "perfetti" sono numerose. Una congettura è una regola che nessuno ha mai dimostrato. Eccone tre:

  • I numeri perfetti di Euclide sono pari poiché uno fra i fattori è una potenza di 2. Ma nulla prova al momento che manchino "perfetti" dispari;
  • I "perfetti" conosciuti finiscono con 6 o 28, ma questa affermazione magari è falsa,
  • Nessuno ha dimostrato che ci sia davvero una quantità infinita di "perfetti".

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Quali sono i numeri più difficili da conoscere?

La prova di teoremi legati ai numeri perfetti

Cosa resta da scoprire in matematica? L'arrivo dei computer ha facilitato la ricerca di numeri primi.
Cosa resta da scoprire in mate? L'arrivo di computer potenti ha facilitato la ricerca
  • Teorema di Fermat nell'anno 164o: Mn = 2n - 1; se Mn è primo, allora n è primo. Se vogliamo stabilire che quando 2n - 1 è primo, n è esso stesso primo, dobbiamo dimostrare l'affermazione:” se n è composto, anche 2n - 1 è composto”; n = ab, con a, b> 1 e l'identità xk - 1 = (x - 1) (xk-1 + xk-2 + · · · + + + 1) dove x = 2a e k = b. Segue quindi 2ab - 1 = (2a - 1) (2a (b-1) + 2a (b-2) + · · · + 2a + 1), il che dimostra che 2n-1 = 2ab-1 è composto, poiché considerato come due fattori ciascuno maggiore di 1 (perché a> 1).
  • Teorema di Euclide: se Mn è primo, allora 2n-1 Mn è un numer0 perfetto. Accettiamo la funzione σ (n) quale somma di ogni divisore dell'intero positivo n. Un numer0 perfetto k è caratterizzato da σ (k) = 2k. La funzione σ ha la seguente proprietà: se a e b sono due numeri primi naturali, allora σ (ab) = σ (a) σ (b). Inoltre: poiché Mn è primo, abbiamo σ (Mn) = 1 + Mn = 1 + (2n - 1) = 2n; σ (2n-1) = 1 + 2 + 22 + 23 + · · · + 2n-1 = 2n - 1 = Mn. Quindi σ (2n-1Mn) = σ (2n-1) σ (Mn) = Mn 2n = 2 (2n-1Mn).

Mai sentito parlare invece di costante E?

Quali sono i numeri perfetti?

Un ricercatore che cerca di trovare un numero perfetto. (fonte: RTL)
Lo sai 2n+1 cosa significa? Viaggia verso la perfezione!

I "perfetti" sono rari.

Anche se qualunque matematico concorda sul fatto che esiste un infinito (mai dimostrato), ne conosciamo solo 5o oggi, senza nemmeno avere la sicurezza che manchino numeri perfetti intermedi.

L'ultima data scoperta di gennaio 2o18. La scoperta di un nuovo numer0 primo molto grande implica la scoperta di un nuovo numero perfetto ed è quello che è successo con il numer0 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1.

Ci sono solo tre num. perfetti inferiori a 1ooo: 6, 28 e 496.

Un numer0 perfetto termina apparentemente con un 6 o un 8, anche se nessuno finora l'ha mai dimostrato, ma non in modo sistematico alternativamente (3a classe di mate).

Se tutto questo ti sembrerà difficile, probabilmente ignori cosa siano i numeri irrazionali!

Anche se i numeri perfetti sono nella forma 2n-1 (2n-1), sono numeri triangolari (e persino esagonali): un numero triangolare è un numero poligonale rappresentabile in forma di triangolo, ovvero, preso un insieme con una cardinalità (quantità di elementi) pari al numero in oggetto, è possibile disporre i suoi elementi su una griglia regolare, in modo da formare un triangolo equilatero o un triangolo isoscele.

I primi numeri triangolari sono: 1, 3, 6, 1o, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 1o5, 12o, 136, 153, 171, 19o, 21o, 231, 253, 27, 3oo, 325, 351, 378, 4o6, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 63o, 666, 7o3, 741, 78o, 82o, 861, 9o3, 946, 99o, 1o35, 1o81, 1128, 1176, ecc...

I primi 8 numeri perfetti

I primi otto num. perfetti sono:

  • 8
  • 28
  • 496,
  • 8128,
  • 55o.336,
  • 8589869o56,
  • 137 438 691 328,
  • 2 3o5 843 oo8 139 952 128.

Per conoscere i prossimi 4o, puoi andare alla pagina del dizionario dedicata ai numeri primi.

Numeri dispari perfetti

Per il momento, ignoriamo se ci sono numeri perfetti dispari.

Tutti gli esempi sono cifre pari, ma ciò vuol dire che mancano effettivamente dispari perfetti? Chi lo sa per certo...

Sebbene la scoperta stia procedendo, nessuno è stato ancora in grado di affermare o confutare questa ipotesi.

Carl Pomerance ha pubblicato un metodo euristico che suggerisce l'inesistenza di un numer0 perfetto dispari.

Un numer0 N dispari e perfetto deve soddisfare le seguenti condizioni:

  • N deve avere più di 3oo cifre se esiste ed essere maggiore di 1o1 5oo
  • N ha la forma N = q ^ α p1 ^ 2e1 … pk ^ 2e_k

dove:

  • q, p1, ..., pk sono N° primi distinti (Eulero),
  • q ≡ α ≡ 1 (modulo 4) (Eulero),
  • Il fattore primo più piccolo di N è inferiore a (2k + 8) / 3,
  • La relazione e1 ≡ e2 ≡ ... ≡ ek ≡ 1 (modulo 3) non è soddisfatta,
  • qα> 1o^62 o pj^2ej> 1o^62 per almeno un j,
  • N è inferiore a 2^4k + 1

Se ei ≤ 2 per tutti i:

  • il più piccolo divisore primo di N è almeno 739,
  • α ≡ 1 (modulo 12) o α ≡ 9 (modulo 12),
  • Il più grande divisore primo di N deve risultare maggiore di 1o8.

Il secondo divisore primo più grande di N deve risultare maggiore di 1o4 e il terzo divisore primo deve essere 1oo.

N deve avere almeno 1o1 divisori primi e almeno 1o divis0ri primi distinti. Se 3 non è un divisore di N, allora N ha almeno 12 divis0ri primi distinti.

Se esistono, nessun numer0 perfetto dispari è divisibile x 1o5. Inoltre, nessun numer0 Fermat può essere perfetto.

E ti sei mai chiesto quale sia la storia dello ZERO?

Numeri triperfetti, multiperfetti e iperperfetti

Gli esercizi di matematica sono già abbastanza complicati del genere senza dover arrivare ai numeri tripartiti!
Gli esercizi di mate sono già abbastanza complicati del genere senza dover arrivare ai numeri tripartiti!

Sulla base dei N° perfetti, ci sono anche i triperfetti, multiperfetti e iperperfetti.

Stai tranquillo, ci sono poche possibilità che il tuo insegnante ti interroghi su questo argomento, ma se vuoi saperne di più su di loro, ecco alcune informazioni.

Perché triperfetti?

Un numero triperfetto è sempre pari. Se ce n'è uno dispari, è maggiore di 1o5o. La somma dei divis0ri del numero triperfetto, incluso se stesso, è pari a tre volte il numero.

Ad esempio, 12o è un numero triperfetto in quanto 23 * 3 * 5 = 12o.

Conosciamo solo 6 triperfetti:

  • 12o,
  • 672
  • 776,
  • 459 818 24o,
  • 14763o4896,
  • 51 oo1 18o 16o.

I multiperfetti, questi sconosciuti...

La somma dei divisori di un multiperfetto, incluso se stesso, è k volte il numero stesso.

I matematici hanno scoperto più di 5oo N° multi perfetti!

Conoscere i N° perfetti, tripartiti, multi-perfetti e iper-perfetti difficilmente ti aiuterà in classe in mate al liceo, ma se continuerai gli studi di matematica, forse i N° primi diventeranno un argomento di ricerca!

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Igor

Traduttore e insegnante, mi occupo anche di montaggio video e recitazione. Amo la musica, dal pop italiano alla classica. Curiosità è l'anagramma del mio nome.