"Se le persone non credono che la matematica sia semplice, è solo perché non si rendono conto di quanto sia complicata la vita." John Von Neumann

Se sei una di quelle persone che non hanno mai capito la matematica, questa citazione potrà sembrarti complicata da capire... La matematica esiste dall’alba dei tempi, in base alla scoperta dell'osso di Ishango, che forse rappresenta la prima prova della conoscenza dei primi numeri primi e della moltiplicazione, ma l'argomento rimane controverso. Mentre la matematica rimane un mistero per molti di noi, alcuni la vedono come un ottimo modo per comprendere e analizzare il nostro mondo. In questo articolo scoprirai cos'è un numero perfetto e a cosa serve (spoiler: non ti permetterà di migliorare la tua vita quotidiana!).

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A che cosa servono i numeri perfetti?

"È un po’ come l’elfico, non riesco a leggerlo!”
"È un po’ come l’elfico, non riesco a leggerlo!”

Un numero perfetto è un numero naturale tale che la somma dei suoi divisori è uguale al numero stesso.

Un vero divisore è un altro divisore del numero stesso.

Una breve storia dei numeri perfetti

I numeri perfetti sono legati alla ricerca dei numeri primi di Mersenne. In effetti, la Proposizione 36 del Libro IX degli Elementi di Euclide afferma che se il numero di Mersenne 2n - 1 è primo, allora 2n-1 (2n - 1) è un numero perfetto. Cartesio, poi, confermò in una lettera a Mersenne che ogni coppia perfetta è euclidea, senza però dimostrare la sua teoria. D'altra parte, il matematico svizzero Eulero fu il primo a dare una dimostrazione dell'osservazione di Cartesio.

La combinazione dei risultati di Euclide e di Eulero fornisce una completa caratterizzazione di numeri anche perfetti. I primi quattro numeri perfetti sono noti fin dall'antichità. Si trovano nelle opere di Nicomaco di Girasa e di Teone de Smirne, mentre il quinto numero perfetto è menzionato in un codice latino del 1456. Il sesto e il settimo numero perfetto furono trovati da Cataldi nel XVI secolo e l'ottavo nel 1772 da Eulero. Così, all'inizio degli anni '5o, conoscevamo 12 numeri perfetti, e nel XX secolo  la ricerca si è sviluppata  enormemente grazie a tecniche sempre più sofisticate e all'uso del computer negli anni '9o (soprattutto grazie al sistema GIMPS).

Ma a cosa servono i numeri perfetti?

Se i numeri primi sono riconosciuti come la base stessa dell'aritmetica da molti matematici, i numeri perfetti non hanno un'utilità particolare, nel senso che non sono usati per risolvere un'equazione, per la fattorizzazione e nemmeno nel campo della crittografia. In precedenza erano considerati superiori a tutti gli altri e alcuni attribuirono loro un ruolo mistico: "Sei è un numero perfetto in sé, non è perché Dio ha creato tutte le cose in sei giorni, ma perché Dio ha creato tutte le cose in sei giorni poiché quel numero è perfetto”, Sant'Agostino nella "La città di Dio" (42o d.C.). I numeri primi sono uno dei misteri della matematica e la ricerca di nuovi numeri perfetti affascina ancora oggi molti matematici. Le congetture in relazione ai numeri perfetti sono numerose. Una congettura è una regola che non è mai stata dimostrata. Eccone tre:

  • I numeri perfetti di Euclide sono tutti pari poiché uno dei fattori è una potenza di 2. Ma nulla prova per il momento che non ci siano numeri perfetti dispari;
  • Tutti i numeri perfetti conosciuti finiscono con 6 o 28, ma potrebbe non essere vero,
  • Non è stato dimostrato che ci sia davvero una quantità infinita di numeri perfetti.

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La prova dei teoremi dei numeri perfetti

Cosa resta da scoprire in matematica? L'arrivo dei computer ha facilitato la ricerca di numeri primi.
Cosa resta da scoprire in matematica? L'arrivo dei computer ha facilitato la ricerca di numeri primi.
  • Teorema di Fermat nel 164o: Mn = 2n - 1; se Mn è primo, allora n è primo. Per stabilire che quando 2n - 1 è primo, n è esso stesso primo, dobbiamo dimostrare l'affermazione:” se n è composto, anche 2n - 1 è composto”; n = ab, con a, b> 1 e l'identità xk - 1 = (x - 1) (xk-1 + xk-2 + · · · + + + 1) dove x = 2a e k = b. Segue quindi 2ab - 1 = (2a - 1) (2a (b-1) + 2a (b-2) + · · · + 2a + 1), il che dimostra che 2n-1 = 2ab-1 è composto, poiché considerato come due fattori ciascuno maggiore di 1 (perché a> 1).
  • Teorema di Euclide: se Mn è primo, allora 2n-1 Mn è un numero perfetto. Accettiamo la funzione σ (n) come la somma di tutti i divisori dell'intero positivo n. Un numero perfetto k è caratterizzato da σ (k) = 2k. La funzione σ ha la seguente proprietà: se a e b sono due numeri primi naturali, allora σ (ab) = σ (a) σ (b). Inoltre: poiché Mn è primo, abbiamo σ (Mn) = 1 + Mn = 1 + (2n - 1) = 2n; σ (2n-1) = 1 + 2 + 22 + 23 + · · · + 2n-1 = 2n - 1 = Mn. Quindi σ (2n-1Mn) = σ (2n-1) σ (Mn) = Mn 2n = 2 (2n-1Mn).

Quali sono i numeri perfetti?

Un ricercatore che cerca di trovare un numero perfetto. (fonte: RTL)
Un ricercatore che cerca di trovare un numero perfetto. (fonte: RTL)

I numeri perfetti sono rari.

Anche se tutti i matematici concordano sul fatto che esiste un infinito (mai dimostrato), ne conosciamo solo 5o oggi, senza nemmeno essere sicuri che non ci siano numeri perfetti intermedi.

L'ultima data scoperta di gennaio 2o18. La scoperta di un nuovo numero primo molto grande implica la scoperta di un nuovo numero perfetto ed è quello che è successo con il numero 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1.

Ci sono solo tre numeri perfetti inferiori a 1ooo: 6, 28 e 496.

Un numero persino perfetto termina apparentemente con un 6 o un 8, anche se non è mai stato dimostrato, ma non in modo sistematico alternativamente (3a classe di matematica).

Anche se i numeri perfetti sono nella forma 2n-1 (2n-1), sono numeri triangolari (e persino esagonali).

D'altra parte, tutti i numeri anche perfetti, ad eccezione del primo, sono la somma dei primi 2 (n-1) / 2 cubi dispari. Per esempio:

28 = 13 + 33,

496 = 13 + 33 + 53 + 73,

8128 = 13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153.

I primi 8 numeri perfetti

I primi otto numeri perfetti sono:

  • 8
  • 28
  • 496,
  • 8128,
  • 55o.336,
  • 8589869o56,
  • 137 438 691 328,
  • 2 3o5 843 oo8 139 952 128.

Per conoscere i prossimi 4o, puoi andare alla pagina del dizionario dei numeri primi.

Numeri dispari perfetti

Per il momento, non sappiamo se ci sono numeri perfetti dispari.

Tutti gli esempi sono numeri pari, ma ciò non significa che non ci siano numeri dispari perfetti.

Sebbene la ricerca stia procedendo, nessuno è stato ancora in grado di affermare o confutare questa ipotesi.

Carl Pomerance ha pubblicato un metodo euristico che suggerisce la non esistenza di un numero perfetto dispari.

Un numero N dispari e perfetto deve soddisfare le seguenti condizioni:

  • N deve avere più di 3oo cifre se esiste ed essere maggiore di 1o1 5oo
  • N ha la forma N = q ^ α p1 ^ 2e1 … pk ^ 2e_k

dove:

  • q, p1, ..., pk sono numeri primi distinti (Eulero),
  • q ≡ α ≡ 1 (modulo 4) (Eulero),
  • Il fattore primo più piccolo di N è inferiore a (2k + 8) / 3,
  • La relazione e1 ≡ e2 ≡ ... ≡ ek ≡ 1 (modulo 3) non è soddisfatta,
  • qα> 1o^62 o pj^2ej> 1o^62 per almeno un j,
  • N è inferiore a 2^4k + 1

Se ei ≤ 2 per tutti i:

  • il più piccolo divisore primo di N è almeno 739,
  • α ≡ 1 (modulo 12) o α ≡ 9 (modulo 12),
  • Il più grande divisore primo di N deve essere maggiore di 1o8.

Il secondo divisore primo più grande di N deve essere maggiore di 1o4 e il terzo divisore primo deve essere 1oo.

N deve avere almeno 1o1 divisori primi e almeno 1o divisori primi distinti. Se 3 non è un divisore di N, allora N ha almeno 12 divisori primi distinti.

Se esistono, nessun numero perfetto dispari è divisibile per 1o5. Inoltre, nessun numero Fermat può essere perfetto.

Numeri triperfetti, multiperfetti e iperperfetti

Gli esercizi di matematica sono già abbastanza complicati del genere senza dover arrivare ai numeri tripartiti!
Gli esercizi di matematica sono già abbastanza complicati del genere senza dover arrivare ai numeri tripartiti!

Sulla base dei numeri perfetti, ci sono anche i numeri triperfetti, multiperfetti e iperperfetti.

Stai tranquillo, ci sono poche possibilità che il tuo insegnante ti interroghi su questo argomento, ma se vuoi saperne di più su di loro, ecco alcune informazioni.

Numeri triperfetti

Un numero triperfetto è sempre pari. Se ce n'è uno dispari, è maggiore di 1o5o. La somma dei divisori del numero triperfetto, incluso se stesso, è pari a tre volte il numero.

Ad esempio, 12o è un numero triperfetto perché 23 * 3 * 5 = 12o.

Conosciamo solo 6 triperfetti:

  • 12o,
  • 672
  • 776,
  • 459 818 24o,
  • 14763o4896,
  • 51 oo1 18o 16o.

I numeri multiperfetti

La somma dei divisori di un numero multiperfetto, incluso se stesso, è k volte il numero stesso.

I matematici hanno scoperto più di 5oo numeri multi perfetti!

Conoscere i numeri perfetti, tripartiti, multi-perfetti e iper-perfetti non ti aiuterà in classe in matematica al liceo, ma se continuerai gli studi di matematica, forse i numeri primi diventeranno un argomento di ricerca!

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Igor

Traduttore e insegnante, mi occupo anche di montaggio video e recitazione. Amo la musica, dal pop italiano alla classica. Curiosità è l'anagramma del mio nome.