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Se la logica è l'igiene del matematico, non è questa a dargli il nutrimento: il pane quotidiano di cui vive sono i grandi problemi
André Weil
Hai delle questioni in sospeso con l'aritmetica o l'algebra e non sai come si calcola il quoziente? Allora fare i calcoli non è il tuo punto forte, soprattutto se si tratta di moltiplicare e dividere le frazioni. Niente panico, Superprof ti fa fare un piccolo ripasso dei calcoli elementari per migliorare in matematica.
Prendi la calcolatrice, e mettila da parte: vedrai come risolvere delle frazioni semplici e soprattutto come fare una divisione euclidea con un binomio o qualunque altro tipo di polinomio.
Cos'è e come si calcola il quoziente di una divisione?
Non è necessario essere un matematico per sapere che il quoziente è il risultato della divisione. Per la precisione, il quoziente è il risultato con un resto diverso da zero, mentre il quoto è il risultato di una divisione esatta dove il resto è pari a zero. Ecco qual è la differenza!
Perché parliamo di divisioni con le frazioni? Perché una frazione è un rapporto fra grandezze, che esprime i numeri sotto forma di divisioni tra numeratore e denominatore.
In aritmetica, per ottenere un quoziente bisogna svolgere una divisione. Il quoziente di A diviso B è il numero Q per cui B x Q = A. Con la regola di Ruffini si possono calcolare con più semplicità il quoziente e il resto di un polinomio.
Il quoziente esiste o meno a seconda dei numeri scelti. Nei numeri interi naturali, il quoziente di A per B esiste solamente se A è un multiplo del numero B.
Ma ora partiamo dalle basi. Il programma del Ministero dell'Istruzione della primaria insegna le proprietà della divisione: invariantiva e distributiva. Alle medie iniziamo a parlare di frazione come quoziente.
Frazione: cos'è e come si calcola il quoziente
Le frazioni sono rapporti tra numeri espressi sotto forma di divisione, e non una delle tante parti autonome in cui può essere suddiviso un comune! Come vedi, però, la divisione è ciò che accomuna le frazioni matematiche alle frazioni comunali.
Ecco quali sono gli elementi e le caratteristiche di una frazione:
- Una linea che divide un numero sopra e un numero sotto
- Il numero intero naturale al di sopra della linea si chiama numeratore
- Quello a di sotto, si chiama denominatore
- Il denominatore della frazione indica in quante parti bisogna dividere
- Il numeratore della frazione specifica il numero di parti che vogliamo prendere
- Esistono delle frazioni equivalenti, in cui si passa dall'una all'altra con una moltiplicazione o una divisione del numeratore e del denominatore
- Alcune frazioni sono integrate nelle espressioni della vita quotidiana: un quarto d'ora o un mezzo di una torta sono degli esempi comuni
Se devi addizionare delle frazioni, sottrarre delle frazioni o usare più frazioni in un calcolo, puoi semplificare l'operazione riducendo ciascuna frazione al minimo termine.
Per farlo, devi trovare il minimo comune multiplo per poter dividere il valore della frazione e scrivere la frazione nel modo più semplice possibile.
Allo stesso modo, per le frazioni che hanno un denominatore comune, puoi effettuare la somma dei valori dei numeratori. Il denominatore resta lo stesso.
Per le frazioni che hanno denominatori diversi, devi prima ridurli allo stesso denominatore. Una volta che avrai determinato il massimo comun divisore, potrai aggiungere o sottrarre i numeratori.
Se vuoi calcolare il quoziente di due frazioni devi fare una semplice operazione: moltiplicare la prima frazione per l'inverso della seconda. L'inverso di una frazione si fa mettendo il denominatore al posto del numeratore e viceversa.
Ora che abbiamo rinfrescato il concetto di denominatore, che sai addizionare i divisori, trovare il divisore comune e fare il quoziente di due frazioni, vedrai che imparerai presto a risolvere le espressioni algebriche e fattorizzare i polinomi!
Se hai bisogno di rivedere dei passaggi, non esitare a contattare un insegnante privato di matematica che potrà aiutarti a ripassare il programma e fare degli esercizi mirati sulle frazioni, a partire dal divisore euclideo.
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Come si calcola il quoziente di un numero intero
La divisione euclidea tra un numero intero naturale A e un numero intero B restituisce un quoziente con il resto.
Il numero razionale A viene chiamato il dividendo e il numero reale B è il divisore.
Entrambi verificano il seguente calcolo: dividendo = quoziente x divisore + resto.
Il resto deve essere sempre inferiore al divisore.
Quando il resto della divisione di A per B è nulla, vale a dire pari a zero, possiamo enunciare quanto segue: A è divisibile per B, A è un multiplo di B e B è un divisore di A. Come ricorderai, questo tipo di risultato si chiama quoto.
Con questo video, puoi imparare a calcolare il massimo comun divisore applicando l'algoritmo di Euclide:
Pronto a risolvere un esercizio con le frazioni?
Ecco i criteri di divisibilità che ti aiuteranno soprattutto per il calcolo mentale. Un numero intero positivo è divisibile per:
- 2 se termina per 0, 2, 4, 6 o 8 (quindi se è un numero pari)
- 3 se la somma delle cifre da cui è composto il numero è un multiplo di 3
- 4 se il numero formato dall'associazione delle ultime due cifre è un multiplo di 4
- 9 se la somma delle cifre è un multiplo di 9
- 5 se termina per 0 per 5
- 10 se termina per 0
- 100 se termina per 00
Non ti resta che esercitarti da solo o insieme al tuo insegnante. Solo con la pratica potrai arrivare a determinare il quoto o quoziente, il divisore e il dividendo di una frazione.
"In tutte le nostre imprese, bisogna assegnare due terzi alla ragione e un terzo al caso. Se aumenti la prima frazione, sei un pusillanime. Aumenta la seconda e sarai un temerario," Napoleone Bonaparte
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Come fare le divisioni con i decimali
Le frazioni decimali danno un valore esatto del quoto quando si concludono con un resto pari a zero.
La divisione con i decimali restituisce due tipi di risultati:
- Il valore esatto del quoziente
- Il valore approssimativo del quoziente
Facciamo un esempio pratico, per capire come impostare una divisione con i decimali.
Per esempio, dobbiamo dividere 126 per 4: il primo è il dividendo il secondo è il divisore, i due termini.
Mettiamo i termini in colonna e facciamo un cappello sulla parte sinistra del dividendo, vale a dire 126, fino a ottenere un numero superiore al divisore, ossia 4.
1-2-6: 1 è troppo piccolo, quindi prendiamo 12.
Cerchiamo tra i multipli di 4, quello che restituisce 12, senza superarlo:
4 x 1 = 4
4 x 2 = 8
4 x 3 = 12
Scriveremo 3 al quoziente e zero al resto, sotto 12. Abbassiamo il 6 vicino al resto e dividiamolo per 4. Ci sono quindi, 6 unità da dividere in 4.
Rifacciamo lo stesso procedimento e cerchiamo tra i multipli di 4 uno che non supera il numero 6. Si tratta di 4 x 1 = 4.
Scriviamo 4 dopo il 3 del primo quoziente, ma per arrivare a sei mancano 2 unità che scriveremo sotto il resto.
In effetti:
6 = (4x1) + 2
Ricapitolando: scriviamo 1 al quoziente. 1 x 4 = 4, quindi scrivo 4 sotto il 6 del resto. Svolgo la sottrazione per calcolare il resto della divisione:
6 - 4 = 2
Il resto è di 2 unità.
Puoi fermare il calcolo qui e dire che 126 = (4 x 31) + 2, ma puoi anche continuare la divisione fino a ottenere un quoziente esatto.
Quindi, potrai aggiungere una parte decimale al tuo quoziente, aggiungendo la virgola per separare la parte intera da quella decimale.
Quindi avremo 31,... il continuo della divisione che parte dal resto di 2. Abbassiamo uno zero vicino al 2 e otteniamo 20 che andremo a dividere per 4.
Riscrivendo il tutto sotto forma di equazione abbiamo:
4 x X = 20
20 = 4 x 5
Quindi, scriviamo 5 al risultato, dopo la virgola.
Ora, hai ottenuto un risultato esatto che è 31,5.
Moltiplichiamo 4 x 5 e scriviamo 20 sotto a 20, facciamo la differenza e otteniamo il risultato che è pari a 0:
20 - 20 = 0
A questo punto la divisione con la virgola è terminata perché il resto è nullo.
Puoi verificare il calcolo, moltiplicando il quoziente per il divisore:
31,5 x 4 = 126
Se il risultato è lo stesso numero del tuo dividendo, allora la tua divisione è corretta.
"Ciò che è affermato senza prova, può essere negato senza prova," Euclide
Non sempre la divisione riesce a dare un numero esatto, neanche dopo la virgola. Ci sono dei numeri infatti, detti periodici, che si ripetono all'infinito, come quando fai 100: 3 = 33,333333 ecc. In questo caso puoi dare un valore approssimativo del risultato.
Potresti dare un'occhiata a questo video di Michela Francone, per scoprirne di più su frazioni e numeri decimali:
Puoi anche dividere un numero decimale per un numero intero. Per farlo, inizia a calcolare dalla parte intera, poi abbassa la parte decimale mettendo la virgola nel posto esatto in cui si trova nel dividendo e continua la divisione, come sempre.
Per fare pausa, usa la matematica con creatività: realizza un cono di carta o esegui la tassellatura di una superficie insieme agli amici o in famiglia!
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Come trasformare un quoziente in prodotto
Ora che sai come si calcola il quoziente di un numero intero e di un numero decimale, ti sarai reso conto che il problema della divisione è principalmente un problema della moltiplicazione.
In effetti, per poter calcolare i quozienti è fondamentale conoscere le tabelline e quindi il prodotto dei numeri.
Se moltiplichiamo il divisore e il dividendo per lo stesso numero, il valore del quoziente non cambia.
Prendiamo l'esempio dei numeri A, B e C.
Moltiplichiamo A per il quoziente di B e C. Troverai un risultato in cui il numeratore è il prodotto di A x B e il denominatore è uguale a C.
Se vuoi imparare tutti i segreti dell'algebra, devi fare pratica. Esercitandoti più e più volte, finirai per capire le frazioni e la loro utilità. Potrai risolvere problemi con gli intervalli, partendo dalle basi, e arrivare a formulare una congettura matematica!
Ora, hai tutte le informazioni di base per poter calcolare un quoziente in matematica.
Se ti è sfuggito qualcosa, ecco un breve riassunto:
- Le frazioni sono un altro modo per rappresentare una divisione tra il numeratore e il denominatore
- Il risultato di una divisione si chiama quoziente se restituisce un resto diverso da zero e quoto se ha un resto pari a zero
- Quindi le frazioni sono il quoziente della divisione
- La divisione euclidea ha come risultato un quoziente intero e un resto, per questo si chiama anche divisione con resto
- Il resto della divisione deve essere inferiore al divisore
- La divisione decimale può dare due tipi di risultati: un quoziente con valore esatto e un quoziente con valore approssimativo
Sei pronto a calcolare le frazioni? Se hai qualche dubbio e degli esercizi specifici da rivedere, la soluzione ideale è contattare un insegnante privato di matematica per ripassare e arrivare preparato in classe!
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