"Se la logica è l'igiene del matematico, non è questa a dargli il nutrimento: il pane quotidiano di cui vive sono i grandi problemi", André Weil

Hai delle questioni in sospeso con l'aritmetica o l'algebra? Fare i calcoli non è il tuo punto forte, soprattutto moltiplicazioni e divisioni? Niente panico, Superprof ti fa fare un piccolo ripasso dei calcoli elementari.

Prendi la calcolatrice, e mettila da parte: vedrai come risolvere delle frazioni semplici e soprattutto come fare una divisione euclidea con un binomio o qualunque altro tipo di polinomio.

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Ripasso: cos'è il quoziente di una divisione?

Non è necessario essere un matematico per sapere che il quoziente è il risultato della divisione. Per la precisione, il quoziente è il risultato con un resto diverso da zero, mentre il quoto è il risultato di una divisione esatta dove il resto è pari a zero.

Perché parliamo di divisioni con le frazioni? Perché una frazione è un rapporto fra grandezze, che esprime i numeri sotto forma di divisioni tra numeratore e denominatore.

Tutti i numeri incarnano una frazione e possono essere scritti sotto forma di divisione.
In un problema aritmetico ogni numero rappresenta una frazione!

In aritmetica, per ottenere un quoziente bisogna svolgere una divisione. Il quoziente di A diviso B è il numero Q per cui B x Q = A. Con la regola di Ruffini si possono calcolare con più semplicità il quoziente e il resto di un polinomio.

Il quoziente esiste o meno a seconda dei numeri scelti. Nei numeri interi naturali, il quoziente di A per B esiste solamente se A è un multiplo del numero B.

Ma ora partiamo dalle basi. Il programma del Miur della primaria insegna le proprietà della divisione: invariantiva e distributiva. Alle medie iniziamo a parlare di frazioni.

Elementi e caratteristiche di una frazione:

  • Una linea che divide un numero sopra e un numero sotto
  • Il numero intero naturale al di sotto della linea si chiama numeratore
  • Quello a di sotto, si chiama denominatore
  • Il denominatore della frazione indica in quante parti bisogna dividere
  • Il numeratore della frazione specifica il numero di parti che vogliamo prendere
  • Esistono delle frazioni equivalenti, in cui si passa dall'una all'altra con una moltiplicazione o una divisione del numeratore e del denominatore
  • Alcune frazioni sono integrate nelle espressioni della vita quotidiana: un quarto d'ora o un mezzo di una torta sono degli esempi comuni

Se devi addizionare delle frazioni, sottrarre delle frazioni o usare più frazioni in un calcolo, puoi semplificare l'operazione riducendo ciascuna frazione al minimo termine.

Per farlo, devi trovare il minimo comune multiplo per poter dividere il valore della frazione e scrivere la frazione nel modo più semplice possibile.

Allo stesso modo, per le frazioni che hanno un denominatore comune, puoi effettuare la somma dei valori dei numeratori. Il denominatore resta lo stesso.

Per le frazioni che hanno denominatori diversi, devi prima ridurli allo stesso denominatore. Una volta che avrai determinato il massimo comun divisore, potrai aggiungere o sottrarre i numeratori.

Ora che abbiamo rinfrescato il concetto di denominatore, che sai addizionare i divisori e trovare il divisore comune, vediamo come calcolare il divisore euclideo.

Se hai bisogno di rivedere dei passaggi, non esitare a contattare un insegnante privato di matematica che potrà aiutarti a ripassare il programma e fare degli esercizi mirati sulle frazioni.

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Come calcolare il quoziente di un numero intero

La divisione euclidea tra un numero intero naturale A e un numero intero B restituisce un quoziente con il resto.

La semplificazione di un'equazione è data da un comune multiplo.
Non dimenticare che puoi semplificare un'equazione se il numeratore e il denominatore hanno un multiplo comune!

Il numero razionale A viene chiamato il dividendo e il numero reale B è il divisore.

Entrambi verificano il seguente calcolo: dividendo = quoziente x divisore + resto.

Il resto deve essere sempre inferiore al divisore.

Quando il resto della divisione di A per B è nulla, vale a dire pari a zero, possiamo enunciare quanto segue: A è divisibile per B, A è un multiplo di B e B è un divisore di A. Come ricorderai, questo tipo di risultato si chiama quoto.

Con questo video, puoi imparare a calcolare il massimo comun divisore applicando l'algoritmo di Euclide:

Pronto a risolvere un esercizio con le frazioni?

Ecco i criteri di divisibilità che ti aiuteranno soprattutto per il calcolo mentale. Un numero intero positivo è divisibile per:

  • 2 se termina per 0, 2, 4, 6 o 8 (quindi se è un numero pari)
  • 3 se la somma delle cifre da cui è composto il numero è un multiplo di 3
  • 4 se il numero formato dall'associazione delle ultime due cifre è un multiplo di 4
  • 9 se la somma delle cifre è un multiplo di 9
  • 5 se termina per 0 per 5
  • 10 se termina per 0
  • 100 se termina per 00

Non ti resta che esercitarti. Solo con la pratica potrai arrivare a determinare il quoto o quoziente, il divisore e il dividendo di una frazione.

"In tutte le nostre imprese, bisogna assegnare due terzi alla ragione e un terzo al caso. Se aumenti la prima frazione, sei un pusillanime. Aumenta la seconda e sarai un temerario," Napoleone Bonaparte

Come fare le divisioni con i decimali

Le frazioni decimali danno un valore esatto del quoto quando si concludono con un resto pari a zero.

Esercitandoti impari a calcolare le divisioni con i decimali.
Il quoziente di un numero decimale A per un numero intero B è il numero che moltiplicato per B,  dà A!

La divisione con i decimali restituisce due tipi di risultati:

  • Il valore esatto del quoziente
  • Il valore approssimativo del quoziente

Facciamo un esempio pratico, per capire come impostare una divisione con i decimali.

Per esempio, dobbiamo dividere 126 per 4: il primo è il dividendo il secondo è il divisore, i due termini.

Mettiamo i termini in colonna e facciamo un cappello sulla parte sinistra del dividendo, vale a dire 126, fino a ottenere un numero superiore al divisore, ossia 4.

1-2-6: 1 è troppo piccolo, quindi prendiamo 12.

Cerchiamo tra i multipli di 4, quello che restituisce 12, senza superarlo:

4 x 1 = 4

4 x 2 = 8

4 x 3 = 12

Scriveremo 3 al quoziente e zero al resto, sotto 12. Abbassiamo il 6 vicino al resto e dividiamolo per 4. Ci sono quindi, 6 unità da dividere in 4.

Rifacciamo lo stesso procedimento e cerchiamo tra i multipli di 4 uno che non supera il numero 6. Si tratta di 4 x 1 = 4.

Scriviamo 4 dopo il 3 del primo quoziente, ma per arrivare a sei mancano 2 unità che scriveremo sotto il resto.

In effetti:

6 = (4x1) + 2

Ricapitolando: scriviamo 1 al quoziente. 1 x 4 = 4, quindi scrivo 4 sotto il 6 del resto. Svolgo la sottrazione per calcolare il resto della divisione:

6 - 4 = 2

Il resto è di 2 unità.

Puoi fermare il calcolo qui e dire che 126 = (4 x 31) + 2, ma puoi anche continuare la divisione fino a ottenere un quoziente esatto.

Quindi, potrai aggiungere una parte decimale al tuo quoziente, aggiungendo la virgola per separare la parte intera da quella decimale.

Quindi avremo 31,... il continuo della divisione che parte dal resto di 2. Abbassiamo uno zero vicino al 2 e otteniamo 20 che andremo a dividere per 4.

Riscrivendo il tutto sotto forma di equazione abbiamo:

4 x X = 20

20 = 4 x 5

Quindi, scriviamo 5 al risultato, dopo la virgola.

Ora, hai ottenuto un risultato esatto che è 31,5.

Moltiplichiamo 4 x 5 e scriviamo 20 sotto a 20, facciamo la differenza e otteniamo il risultato che è pari a 0:

20 - 20 = 0

A questo punto la divisione con la virgola è terminata perché il resto è nullo.

Puoi verificare il calcolo, moltiplicando il quoziente per il divisore:

31,5 x 4 = 126

Se il risultato è lo stesso numero del tuo dividendo, allora la tua divisione è corretta.

"Ciò che è affermato senza prova, può essere negato senza prova," Euclide

Non sempre la divisione riesce a dare un numero esatto, neanche dopo la virgola. Ci sono dei numeri infatti, detti periodici, che si ripetono all'infinito, come quando fai 100: 3 = 33,333333 ecc. In questo caso puoi dare un valore approssimativo del risultato.

Potresti dare un'occhiata a questo video di Michela Francone, per scoprirne di più su frazioni e numeri decimali:

Puoi anche dividere un numero decimale per un numero intero. Per farlo, inizia a calcolare dalla parte intera, poi abbassa la parte decimale mettendo la virgola nel posto esatto in cui si trova nel dividendo e continua la divisione, come sempre.

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Come trasformare un quoziente in prodotto

Ora che sai come si calcola il quoziente di un numero intero e di un numero decimale, ti sarai reso conto che il problema della divisione è principalmente un problema della moltiplicazione.

In effetti, per poter calcolare i quozienti è fondamentale conoscere le tabelline e quindi il prodotto dei numeri.

Per fare le divisioni devi saper fare le moltiplicazioni.
Il quoziente di un numero A per un numero B è il numero Q, tale per cui il prodotto di Q per B è uguale a A!

Se moltiplichiamo il divisore e il dividendo per lo stesso numero, il valore del quoziente non cambia.

Prendiamo l'esempio dei numeri A, B e C.

Moltiplichiamo A per il quoziente di B e C. Troverai un risultato in cui il numeratore è il prodotto di A x B e il denominatore è uguale a C.

Se vuoi imparare tutti i segreti dell'algebra, devi fare pratica. Esercitandoti più e più volte, finirai per capire le frazioni e la loro utilità.

Ora, hai tutte le informazioni di base per poter calcolare un quoziente in matematica.

Se ti è sfuggito qualcosa, ecco un breve riassunto:

  • Le frazioni sono un altro modo per rappresentare una divisione tra il numeratore e il denominatore
  • Il risultato di una divisione si chiama quoziente se restituisce un resto diverso da zero e quoto se ha un resto pari a zero
  • Quindi le frazioni sono il quoziente della divisione
  • La divisione euclidea ha come risultato un quoziente intero e un resto, per questo si chiama anche divisione con resto
  • Il resto della divisione deve essere inferiore al divisore
  • La divisione decimale può dare due tipi di risultati: un quoziente con valore esatto e un quoziente con valore approssimativo

Sei pronto a calcolare le frazioni? Se hai qualche dubbio e degli esercizi specifici da rivedere, la soluzione ideale è contattare un insegnante privato di matematica per ripassare e arrivare preparato in classe!

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Catia

Traduttrice e scrittrice con una passione per le lingue