"L'essenza dei matematici è la libertà," Georg Cantor

Per trattare dei problemi irrisolti, matematici come Poincaré, Pitagora, Godel, Pierre de Fermat o Dedekind hanno segnato la storia della matematica con teoremi e formule. Una volta dimostrate, queste asserzioni si applicano come se fossero una legge scientifica grazie alla sperimentazione.

Alla base della teoria dei numeri, della teoria degli insieme e di altre teorie, c'erano delle congetture!

In effetti, all'inizio del procedimento bisogna tentare di provare la verità di una proprietà matematica e poi darne una dimostrazione.

E' così che i matematici hanno potuto verificare le proprie scoperte e trarne una regola generale.

Alcune congetture rimangono ancora senza risposte, nonostante siano passati secoli e si sia sviluppata l'informatica!

Sei pronto a diventare un vero matematico? Superprof ti spiega tutto ciò che devi sapere per fare delle congetture matematiche grazie all'aiuto di un breve viaggio nel tempo matematico.

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Cosa significa congettura matematica?

Secondo l'Enciclopedia Treccani, una congettura è una supposizione, un giudizio fondato su indizi o apparenze.

Formulare una congettura significa creare un enunciato che non si è dimostrato vero né falso.
Applicando un problema di calcolo a diversi esempi possiamo constatare delle similarità nei risultati ottenuti!

Leggendo ancora, scopri il vero significato di congettura matematica:

"Proposizione dimostrata vera in taluni casi, della quale non si sia riusciti a dimostrare la falsità in nessun caso e che perciò si presume vera in ogni caso."

Una congettura è quindi un enunciato di cui ancora non si ha la dimostrazione.

Fare delle congetture in matematica, significa accettare un enunciato come vero, anche se la verità ancora non è stata accertata perché non è stato possibile né dimostrare né smentire tale enunciato.

Tutti i libri di matematica spiegano che per verificare una congettura è necessario:

  • Dimostrarla
  • Completarla
  • Formularla

Questo principio matematico si applica a tutti gli ambiti dimostrabili, dalla geometria algebrica alla criptografia, passando per l'algebra e gli algoritmi. Quello della dimostrazione è un problema che accomuna tutte le scienze.

Se sei alle medie, alle superiori e vuoi recuperare matematica, puoi rivolgerti a un insegnante privato di matematica. Saprà come spiegarti i principi base di questa disciplina, a partire dalla differenza tra una congettura e un'ipotesi.

Riuscire a fare delle congetture ti servirà sia in matematica sia per sviluppare una generale capacità logica. In effetti, fare delle deduzioni, vedere più lontano di quello che appare è una sfida che si ripropone in diversi ambiti della nostra vita quotidiana.

Per entrare davvero nel mondo della matematica, non basta conoscere l'aritmetica, ma bisogna anche saper verificare una congettura.

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Come dimostrare matematicamente che una congettura è vera

Hai mai sentito parlare di calcolo letterale? Si tratta di un calcolo puramente aritmetico che associa i numeri alle lettere e in cui ogni lettera indica un numero che non conosciamo.

Saper risolvere delle espressioni letterali è fondamentale ai fini della prova matematica perché permette di proiettare la soluzione con un esempio fittizio, senza doverla materializzare con delle cifre. E' l'ideale per tentare di scoprire una regola generale che si applichi a tutti i casi.

La congettura richiede spirito di osservazione e capacità deduttive.
Spesso la congettura parte da un'intuizione!

Grazie al calcolo letterale potrai dimostrare la tua congettura.

Per poterne dimostrare la veridicità hai bisogno di almeno 3 esempi. Per rifiutarla, invece, basta un solo casocontrario.

Facciamo un esempio concreto, partendo con un enunciato molto conosciuto:

"Scegli un numero, sottrai 3. Poi, aggiungi il doppio e aggiungi 6."

Ammettiamo che N=5

5-3=2

2x2=4

4+6=10

Ammettiamo ora che N=7

7-3=4

2x4=8

8+6=14

Per l'ultimo esempio, mettiamo che N=30

30-3=27

2x27=54

54+6=60

Osserviamo che ogni risultato è il doppio del numero di partenza, ed è questa la nostra congettura.

Ora cerchiamo di verificare le nostre dimostrazioni precedenti:

2 (N-3) +6

= 2N-6+6

=2N

La nostra congettura è quindi confermata e possiamo stabilire un principio matematico che afferma che: "Quando scegliamo un numero, da cui sottraiamo 3, prendiamo il doppio a cui aggiungiamo 6, allora otteniamo il doppio del numero di partenza."

Tutti i grandi matematici hanno dovuto fare la dimostrazione di un teorema per poterlo verificare. Non sempre, però, è facile fornire una prova. Su ogni teorema ci sono ore, anni e a volte secoli di lavoro!

Questi sono i teoremi matematici più conosciuti:

  • Teorema di Gauss
  • Teorema di Pitagora
  • Teorema di Fermat
  • Teorema di incompletezza di Gödel
  • Teorema di Talete

Una congettura può essere usata come l'ipotesi di una dimostrazione.

Non viene automaticamente dimostrata, ma serve da base per la riflessione e apre altri campi di applicazione.

Vediamo qualche esempio emblematico per illustrare il nostro proposito.

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Cultura matematica: alcune congetture famose

Iniziamo con i numeri perfetti di Euclide: questi numeri interi naturali sono la somma dei loro divisori propri. Euclide ne aveva trovati quattro, cioè 6, 28, 496 e 8.128.

Per esempio 28 è la somma di 1, 2, 4, 7  e 14.

Il numero 6, è dato dalla somma di 1, 2 e 3.

Dopo secoli di ricerca alcune congetture matematiche non sono state ancora dimostrate.
Alcune congetture sono state provate, altre rifiutate, altre ancora sono rimaste irrisolte!

Ad oggi ne abbiamo 51, ma ci sono due problemi ancora irrisolti.

"Esiste un'infinità di numeri perfetti pari?"

"Esistono dei numeri perfetti dispari?"

Mistero: nessuno ancora conosce la risposta, neanche il più grande matematico italiano!

Ecco altre celebri congetture della storia della matematica.

La congettura di Goldbach

Questa congettura è datata 1742. Fa parte della teoria algebrica dei numeri e, ad oggi, non è stata ancora risolta.

Ha delle similitudini con l'ipotesi di Riemann e con la congettura dei numeri primi gemelli.

Il suo enunciato è il seguente:

"Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi".

In altri termini, 2N=p+q

2N è sempre un numero pari e p e q sono due numeri primi.

Memo: un numero primo è un numero che può essere diviso solo per 1 e per se stesso. Questi sono alcuni dei primi dell'elenco: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 e così via.

Al momento, questa congettura non è stata interamente verificata. Detto questo, è stata dimostrata per i numeri interi pari fino a 4x10 alla diciottesima potenza e per in numeri dispari fino a 8.875 per 10 alla trentesima potenza.

Questi sono alcuni teoremi legati alla congettura di Goldbach:

  • Dando per vera una certa generalizzazione dell'ipotesi di Riemann, tutti i numeri dispari abbastanza grandi sono la somma di tre numeri primi
  • Ogni numero intero dispari abbastanza grande è la somma di tre numeri primi
  • Ogni interno pari abbastanza grande è la somma di quattro numeri primi
  • L'ipotesi di Riemann generalizzata implica la congettura debole di Goldbach
  • Ogni intero dispari > 1 è la somma di massimo cinque numeri primi
  • Ogni intero dispari > 5 è la somma di tre numeri primi

I numeri di Fermat

La congettura di Fermat poggia sul celebre teorema di Pitagora e in particolare sulla terna pitagorica, ossia una tripletta di numeri x, y, z che soddisfano l'uguaglianza del teorema di Pitagora.

Accettando che  x2+y2=z2 (la soluzione è la lunghezza dei lati di un triangolo rettangolo), Pierre Fermat si è domandato se sostituendo l'elevazione al quadrato con l'elevazione al cubo esistessero delle soluzioni che non fossero uguali a zero.

Ne ha dedotto che: "un cubo non è mai la somma di due cubi, una potenza alla quarta non è mai la somma di due potenze alla quarta e, più in generale, nessuna potenza superiore a 2 è la somme di due potenze analoghe."

Allora, il primo teorema fondamentale di Fermat ci fa capire che:

"La matematica è la ginnastica dello spirito e la preparazione alla filosofia," Isocrate

La congettura di Eulero

Nel 1769 Eulero ha formulato una congettura della teoria algebrica che si enuncia come segue:

"Per ogni intero n superiore a 2, la somma di n-1 potenza ennesima non è un'ennesima potenza."

In altre parole, per ottenere un numero elevato alla quarta potenza, dobbiamo sommare almeno quattro numeri interi, per elevare alla potenza 5 almeno cinque numeri interi e così via.

Per Eulero (Leonhard Euler) questa congettura è la continuazione logica della congettura di Fermat.

Questa congettura è stata smentita nel 1966 grazie a un controesempio di Lander e Parkin che riuscirono a ottenere un numero elevato alla quinta potenza solo con quattro numeri, e non con cinque come avrebbe voluto la congettura di Eulero.

La congettura di Poincaré

Siamo nell'ambito della topologia algebrica, branca della matematica che usa l'algebra per studiare gli spazi topologici. La congettura di Poincaré è anche nota come teorema di Perelman, dal nome del matematico che l'ha dimostrata nel 2003.

La dimostrazione di un teorema matematico interessa l'aritmetica, l'algebra e la geometria!
Ogni branca della matematica è interessata da una congettura!

Questo è l'enunciato della congettura di Poincaré:

"Consideriamo una varietà compatta V a 3 dimensioni senza margini. E' possibile che il gruppo fondamentale di V sia banale, nonostante V non sia omeomorfo a una 3-sfera?"

Tra proprietà geometriche e topologiche le domande di Poincaré sono abbastanza complesse, soprattutto se il tuo programma scolastico si incentra sulle frazioni!

Questo è sicuramente uno degli argomenti che dovresti approfondire con il tuo insegnante di matematica!

Noi ti abbiamo dato alcune indicazioni di base per trovare spunti e rendere più intrigante lo studio della matematica. Potresti divertirti a fare delle congetture e cercare di verificarle. Parti dalle congetture matematiche più semplici.

Per idee, strumenti alternativi e un aiuto per i compiti o per la preparazione di esami puoi sempre contare su un insegnante privato di matematica!

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Catia

Traduttrice e scrittrice con una passione per le lingue