"Buona parte della matematica diventata utile si è sviluppata senza alcuna intenzione di rendersi utile, in un momento in cui nessuno sapeva in quale ambito si sarebbe applicata. Non esistono indicazioni generali sul fatto che sarebbe diventata utile. Questo vale per tutte le scienze," John Von Neumann

Hai mai sentito parlare di pavimentazione? Che si tratti di rivestire i pavimenti della cucina o di una strada, oppure dei disegni di Maurits Cornelis Escher, in matematica vuol dire riempire tutti i punti di un piano con delle figure geometriche.

Anche se può sembrare facile e divertente, la tassellazione o tassellatura, come si chiama in matematica, si basa sulla conoscenza delle figure geometriche concave e convesse. La forma, il numero di lati e vertici, l'angolo ti aiutano a costruire un modulo che potenzialmente si ripete all'infinito.

La natura è ricca di esempi di tassellazione, dalla buccia dell'ananas ai celebri alveari delle api. Cosa dire poi dell'architettura e dell'arte? Anche in questo caso, applichiamo dei principi matematici a oggetti che possono riempire tutti i punti di un piano. Non parliamo solo di piastrelle quadrate, ma di oggetti di forma e numero di lati diversi.

Superprof ti spiega come incollare tasselli di diverse forme l'una accanto all'altra, senza lasciare neanche uno spazio vuoto, da vero matematico! Con l'occasione, ripasseremo anche alcune nozioni di base del programma scolastico di geometria!

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Cos'è la pavimentazione in matematica?

"Si definisce tassellazione di uno spazio euclideo E, ogni porzione di E con piani isometrici a due a due. Quando E è di dimensioni n, la tassellazione viene definita periodica se rimane invariata per n traslazioni di vettori non collineari"

Detta così potrebbe sembrare difficile, ma senza neanche saperlo, ogni giorno vedi degli esempi di pavimentazione nella tua vita quotidiana. Le piastrelle del bagno, i sanpietrini, le vetrate delle chiese, sono tutti esempi di figure geometriche simmetriche che ricoprono tutti i punti di un piano senza lasciare spazi vuoti.

La prossima volta che vedrai le mattonelle del balcone, penserai alla tassellatura in matematica.
La pavimentazione nella geometria euclidea è la tassellazione, ossia il riempimento di un piano senza buchi con delle figure geometriche!

In effetti, si tratta di un numero definito di figure geometriche o tessere che si incastrano alla perfezione, ripetendo un motivo all'infinito senza mai sovrapporsi in una porzione del piano euclideo.

Per le tassellature si possono usare diverse figure geometriche, con un numero di lati e vertici variabile. I poligoni convessi, i quadrati, i rettangoli, gli esagoni, i parallelogrammi i triangoli e ancora i pentagoni, possono diventare le tessere della nostra composizione geometrica.

In cristallografia, la scienza che studia i cristalli a livello atomico, si distinguono di versi tipi di pavimentazione piana, classificandola in base ad alcuni criteri.

La pavimentazione regolare, formata da poligoni regolari, convessi e identici - un poligono regolare permette di inserire tasselli senza sovrapposizioni. Per esempio, puoi usare un triangolo equilatero (in cui tutti e tre gli angoli e i lati sono uguali), un quadrato, un rettangolo.

La pavimentazione semi-regolare - prevede otto possibili casi, tutti composti da almeno due poligoni diversi, regolari e convessi.

Le trasformazioni geometriche fanno appello alla nostra immaginazione.

Si parla di isometrie quando i tasselli sono identici. La nozione di isometrie, conferisce al piano una distanza e un'orientamento. Si parla di spazio euclideo e di prodotto scalare.

L'isometria nel piano, vale a dire l'orientamento degli elementi di simmetria, può essere una traslazione, una simmetria centrale, una rotazione, una simmetria assiale.

La pavimentazione periodica si ottiene quando l'insieme degli elementi geometrici è composto da quadrilateri.

Infine, è possibile pavimentare lo spazio con i poliedri di Keplero, dei solidi regolari non convessi, dove tutte le facce sono formate da poligoni regolari identici.

Ora che sappiamo quali figure geometriche possono essere usate per la tassellatura, vediamo come realizzarla.

Come diceva il matematico e filosofo italiano, Gian-Carlo Rota, spesso sentiamo dire che la matematica serve a provare dei teoremi. Sarebbe come dire che il compito di uno scrittore sia quello di comporre delle frasi. In realtà, la matematica è molto di più.

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Come fare una tassellazione geometrica

I principi alla base della tassellatura vengono usati in diversi ambiti:  dall'architettura all'arte, al mondo naturale troviamo diversi esempi che si basano sulla matematica.

La riflessione e la rotazione delle forme geometriche sono concetti matematici da mettere in pratica on la pavimentazione.
Con la pavimentazione puoi osservare regolarità e trasformazioni geometriche!

Per realizzare la figura con cui farai la pavimentazione avrai bisogno di due fogli di carta, delle matite colorate o dei pennarelli e un paio di forbici.

Scegli il tuo elemento geometrico preferito. Per iniziare, puoi disegnare un poligono, come un rombo o un trapezio, oppure un triangolo su una griglia e poi ritagliarlo. Non è necessario conoscere gli algoritmi per fare il tuo primo esperimento di pavimentazione. Basta un semplice esercizio di geometria accessibile a tutti.

Ora che hai il tuo motivo di base, puoi metterlo su un foglio di carta, che sarà il tuo spazio geometrico determinato, e ricreare delle forme regolari.

Parti dall'asse di simmetria, il segmento che divide l'immagine in due parti uguali. Se hai un triangolo, ti basta ruotare la figura di 180° rispetto al punto medio e formare un parallelogramma con il triangolo successivo e così via. Avrai la ripetizione all'infinito della stessa figura geometrica senza lasciare spazi vuoti e senza sovrapposizioni.

La pavimentazione con queste figure di base è possibile anche senza conoscere il teorema di Talete o il teorema di Pitagora.

Per allenarti, puoi provare a costruire diverse figure come un quadrilatero, un pentagono, un esagono o un ottaedro.

Questo esercizio di matematica è molto divertente e avvicina la scienza dei numeri all'arte e all'architettura.

Se vuoi saperne di più sull'asse di simmetria delle figure geometriche, dai un'occhiata a questo video del Maestro Davide:

Vediamo qualche esempio di poliedro regolare tra quelli più conosciuti, usando forme geometriche diverse.

Scopri anche come risolvere le espressioni algebriche e fattorizzare i polinomi!

Esempi di tassellature

Durante gli esercizi di algebra e geometria, ti capiterà di incontrare alcune delle più comuni pavimentazioni.

Uno dei più conosciuti esempi di tassellatura è quella di Penrose.
La tassellazione di Penrose, di Cairo, l'alveare usano forme molto comuni!

I motivi geometrici usati nella tassellatura di Penrose assomigliano a dei cristalli. Puoi realizzare questa pavimentazione con pentagoni, rombi e porzioni di pentagrammi o quadrilateri.

In questo video dell'Università di Brescia, avrai una dimostrazione matematica della tassellazione non periodica, vale a dire quella che non si ripete sempre uguale.

Se vuoi un esempio di geometria perfetta, puoi sperimentare la tassellaizone del Cairo. Il piano euclideo è costituito da pentagoni irregolari posizionati secondo il loro asse di simmetria.

Si ritrova per le strade della capitale d'Egitto, Il Cairo, da cui derive il nome. I pentagoni consecutivi hanno due lati della stessa lunghezza e uno più corto.

L'architettura araba sfrutta con maestria l'uso di figure geometriche per la pavimentazione. Un esempio è la celebre Alhambra, in Spagna.

Nel corso della storia i matematici Reindhart e Kershner, l'informatico Richard E. James, gli studenti Majorice Rice, studentessa delle superiori, e Rolf Stein studente di matematica, il gruppo di matematici di Casey Mann e Michael Rao, ricercatore francese, hanno dato vita a tutte le possibili tassellature con i pentagoni.

Per ora ne sono state scoperte 15, ma potresti divertirti a disegnare le tue forme pentagonali che si intersecano alla perfezione! Usa la tua immaginazione per tracciare le tue figure geometriche, tenendo sempre a mente che la chiave per poterle inserire nel piano è l'asse di simmetria.

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Alcune tassellazioni facili da realizzare

Se sei in cerca di ispirazione per le tue tassellature, puoi dare un'occhiata a internet e selezionare le tante risorse come immagini e video tutorial.

La matematica è ovunque anche nell'arte!
La pavimentazione è un problema matematico che esce fori dai confini di questa scienza e approda all'arte!

Eccone alcuni esempi.

In questo video, si realizzano delle tassellazioni artistiche con forme che si ripetono. Può essere un buon modo per trascorrere una giornata di pioggia, applicando la matematica all'arte, come nei dipinti di Escher.

Qui abbiamo la tassellazione di un esagono spiegato da un'insegnante di matematica. Ti sarà utile per ripassare il programma di geometria:

Anche questo video è molto utile per preparati all'interrogazione di geometria. Potrai ripassare le nozioni che abbiamo visto finora, esercitandoti a ricoprire i punti del piano con triangoli, quadrati, esagoni. Scoprirai come usare pentagoni ed ettagoni e perché le api scelgono proprio l'esagono!

Preparati a calcolare il perimetro e l'area di diverse figura geometriche.

La tassellazione è un esercizio che puoi realizzare senza dover essere un matematico.

Inizia con delle figure geometriche semplici, come i triangoli. Lasciati trasportare dall'equilibrio, dal ritmo e dall'immaginazione. La tassellazione è una pratica che mette in moto sia le nostre capacità logico-matematiche, sia quelle artistiche. Le opere di Escher ne sono una prova!

La matematica ti aiuta a che a realizzare un cono di carta!

Se vuoi imparare la geometria euclidea in un modo piacevole ed efficace, puoi prendere lezioni di matematica per ripassare tutte le nozioni di base e imparare a formulare una congettura. Con il tuo insegnante potrai esplorare la trigonometria, Talete e Pitagora e costruire il tuo motivo geometrico in un modo divertente!

Buon divertimento!

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Catia

Traduttrice e scrittrice con una passione per le lingue