"Se la scienza fosse un essere vivente, i matematici sarebbero il suo cuore" - Appolinaire Nsabimana

L'indagine PISA dell'OCSE, Organizzazione per la cooperazione e lo sviluppo economico, mette sempre in evidenza delle grandi disparità nell'apprendimento della matematica.

Il luogo di residenza, il genere, la situazione socio-economica della propria famiglia di origine, sono tutte situazioni che incidono sull'andamento scolastico dei ragazzi di 15 anni a cui viene fatto il test per capire qual è il loro livello di matematica, italiano e scienze.

I primi problemi con la matematica, in genere, affiorano alle scuole medie quando si introducono i principi dell'algebra. Se non affrontati subito, il rischio è quello di arrivare alle superiori con delle lacune e con poca conoscenza del ruolo che la matematica svolge nella vita di tutti noi.

Superprof veste i panni di un insegnante di matematica per spiegarti come svolgere o ridurre una o più espressioni letterali.

I migliori insegnanti di Matematica disponibili
Prima lezione offerta!
Ilaria
5
5 (27 Commenti)
Ilaria
23€
/h
Prima lezione offerta!
Santiago
5
5 (41 Commenti)
Santiago
20€
/h
Prima lezione offerta!
Riccardo
5
5 (87 Commenti)
Riccardo
25€
/h
Prima lezione offerta!
Filippo
5
5 (62 Commenti)
Filippo
30€
/h
Prima lezione offerta!
Daniele
5
5 (79 Commenti)
Daniele
15€
/h
Prima lezione offerta!
Frank
5
5 (31 Commenti)
Frank
15€
/h
Prima lezione offerta!
Sergio
5
5 (25 Commenti)
Sergio
20€
/h
Prima lezione offerta!
Andrea
5
5 (24 Commenti)
Andrea
15€
/h
Prima lezione offerta!
Ilaria
5
5 (27 Commenti)
Ilaria
23€
/h
Prima lezione offerta!
Santiago
5
5 (41 Commenti)
Santiago
20€
/h
Prima lezione offerta!
Riccardo
5
5 (87 Commenti)
Riccardo
25€
/h
Prima lezione offerta!
Filippo
5
5 (62 Commenti)
Filippo
30€
/h
Prima lezione offerta!
Daniele
5
5 (79 Commenti)
Daniele
15€
/h
Prima lezione offerta!
Frank
5
5 (31 Commenti)
Frank
15€
/h
Prima lezione offerta!
Sergio
5
5 (25 Commenti)
Sergio
20€
/h
Prima lezione offerta!
Andrea
5
5 (24 Commenti)
Andrea
15€
/h
1a lezione offerta>

Come risolvere un polinomio di primo grado

Le lezioni di matematica che prendi alle medie sono fondamentali per prepararti alle scuole superiori.

L'algebra si basa sulla logica non sul calcolo.
Non serve la calcolatrice per svolgere alcuni esercizi di matematica!

Eppure, secondo i risultati PISA del 2019, il 24% degli studenti di 15 anni non ha raggiunto il livello base di matematica. Anche se in generale i risultati per l'Italia sono in linea con quelli dei paesi OECD, ossia 487 (su 489 della media OCSE), come più volte sottolineato ci sono disparità, a partire da quelle geografiche tra Nord, Centro e Sud.

Visto che le prime difficoltà con la matematica si riscontrano con l'algebra, è bene imparare una parte fondamentale del programma scolastico.

A differenza dell'aritmetica, che usa solo numeri, l'algebra include espressioni che presentano numeri e lettere.

Sviluppare un'espressione significa scriverla sotto forma di addizione o sottrazione.

Si tratta di trasformare una moltiplicazione, o prodotto, di più termini in un'operazione con una formula più semplice.

Ad es: k x (a + b) = k x a + k x b.

Per riuscirci, useremo due modalità di calcolo molto usate durante le lezioni di matematica:

  • la proprietà distributiva della moltiplicazione
  • il doppio raccoglimento o raccoglimento a fattor comune

La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione (o alla sottrazione) è un'operazione che permette di passare dal prodotto di una somma (o di una differenza) di due termini a una somma di prodotti.

Non è chiaro?

Spieghiamolo meglio con un esempio:

Data la seguente equazione: 10 x 25 = 10 x (20 + 5) = 10 x 20 + 10 x 5 = 200 + 50 = 250.

Se 10 x 25 = 10 x (20 + 5), anche le altre equazioni sono esatte: 10 x 25 = 10 x (20 + 5) effettivamente è uguale a 10 x (35 - 10) :

  • 10 x 25 = 10 x (35 - 10) = 10 x 35 - 10 x 10 = 350 - 100 = 250,
  • 10 x 25 = 10 x (27 - 5 + 3) = 10 x 27 - 10 x 5 + 10 x 3 = 270 - 50 + 30 = 250.

La proprietà distributiva aiuta a semplificare il calcolo e a essere più efficaci nel calcolo mentale tramite la scomposizione dell'espressione.

Questo metodo permette anche di eliminare le parentesi e semplificare la scrittura.

Il teorema è il seguente: un'operazione costituita da un prodotto di numeri e fattori diversi si distribuisce su un'operazione sotto forma di somma di fattori, se, qualunque sia il numero di a, b o c abbiamo: a (b + c) = (a x b) + (a x c).

Abbiamo la distribuzione a sinistra se a (b + c) = (a x b) + (a x c).

Al contrario, l'operazione può subire una distribuzione a destra se (a + b) x c = (a x c) + (b x c).

Abiti nella capitale e cerchi ripetizioni matematica roma?

Come risolvere un polinomio di secondo grado

Se sei in grado di risolvere un'espressione aritmetica, potrai anche risolvere i polinomi di secondo grado senza troppe difficoltà.

Esercitati con le espressioni algebriche e vedrai che imparerai a risolverle in poco tempo.
A volte l'algebra sembra una lingua aliena, ma non demordere!

Abbiamo delle equazioni costituite da polinomi di secondo grado con più coefficienti come la seguente:  f(x) = (x - 1)(2x + 3).

La soluzione è molto più semplice di quello che potrebbe sembrare.

Per svolgere la funzione f(x) = (x - 1)(2x + 3) dobbiamo raggruppare i termini e trasformarli in prodotti per ridurli alla somma di due termini.

L'operazione è la seguente: (a + b) x (c + d) = a x c + a x d + b x c + b x d.

Otteniamo:

  •  (a + b) (c − d) = ac – ad + bc − bd
  •  (a − b) (c + d) = ac + ad – bc − bd
  •  (a − b) (c − d) = ac – ad – bc + bd

Attenzione a non dimenticare dei termini e a rispettare le priorità delle operazioni, senza dimenticare la regola dei segni!

Se non ricordi la priorità delle operazioni è molto semplice: prima si svolgono moltiplicazioni e divisioni, poi addizioni e sottrazioni.

Ad esempio:

  • f(x) = (x - 1)(2x + 3)
  • 2x + x x 3 - 1 2x + (-1 x 3)
  • 2x² + 3x - 2x - 3
  • = 2x² + x - 3

La forma dell'espressione sarà: f(x) = 2x² + x - 3.

Prova a sviluppare le espressioni seguenti:

  • f(x1) = (x + 3)(2x + 1)
  • f(x2) = (5 + x)(3x − 2)
  • f(x3) = (6 − 5x)(7 − 4x)

Ecco le soluzioni (prima di guardarle prova a fare l'esercizio in autonomia):

  • f(x1) = 2x2 + x + 6x + 3 = 2x² + 7x + 3
  • f(x2) = 15x – 10 + 3x2 − 2x = 3x² + 13x - 10
  • f(x3) = 20x² + 42 − 24x − 35x = 20x² - 59x + 42

Sviluppare un prodotto di fattori equivale a fare un po' di ginnastica mentale!

Cerchi lezioni di matematica online su misura per te?

Come ridurre le espressioni algebriche

Se abbiamo uno, due tre fattori all'interno di un'espressione, possiamo trovarci con molte addizioni e sottrazioni da fare e una sola incognita (x).

Lavorare in gruppo aiuta a rendere lo studio più piacevole.
Le lezioni di matematica sono più divertenti se si fanno in gruppo!

Ecco perché durante gli esercizi di matematica ti viene richiesto di ridurre le espressioni letterali.

Questo procedimento ti sarà molto utile quando dovrai fattorizzare con un fattore comune.

Ridurre un'espressione significa fare la somma algebrica dei termini che hanno la stessa natura.

Mettere in ordine un'espressione, significa anche ordinare le potenze in ordine crescente o decrescente.

In questo modo classifichiamo le operazioni algebriche che hanno lo stesso valore. In altri termini, troviamo e mettiamo insieme le x², le x e le unità senza incognita.

Esempio:

  • 2x + 12 + 4x² - 6x + 4x² + 2
  • 8x² - 4x + 14

Abbiamo fatto la somma tra 4x² e ottenuto 8 x²: abbiamo fatto la somma tra - 6x e + 2x ottenendo - 4x; infine abbiamo sommato le unità 12 +2, ottenendo 14.

Ora proviamo a sviluppare l'espressione seguente, con lo stesso procedimento: (3x + 1) (2x + 4)

  • (3x + 1) (2x + 4) = 3x 2x + 3x 4 + 2x + 4
  • 6x² + 12x + 2x + 4
  • 6x + 14x + 4

Lo svolgimento di un polinomio, un tipo di scrittura contente potenze al quadrato e variabili incognite, si chiama espansione: questa operazione permette di esprimere il polinomio come somma di fattori per ottenere un'espressione più lunga che però semplifica il calcolo.

L'ultima tappa che eseguiremo sarà la riduzione.

Per non sbagliarti, c'è un solo rimedio: esercitati a svolgere le espressioni algebriche fino a quando non avrai acquisito degli automatismi.

Lo svolgimento delle operazioni diventa sempre più rapido e fluido: basta applicare la formula adatta e fidarti delle tue capacità.

Una volta imparato il trucco, il calcolo algebrico non è poi così difficile!

Proprietà algebriche: i prodotti notevoli

I prodotti notevoli sono molto utili per svolgere le espressioni algebriche.

Le funzioni algebriche possono essere risolte più velocemente se conosci le identità note.
Grazie al tuo insegnante puoi imparare alcune dritte per velocizzare il calcolo!

Per prodotto notevole si intende un'identità nota che compare frequentemente nel calcolo letterale.

Sono delle uguaglianze che si applicano alle variabili di un polinomio permettendo di semplificarne la scrittura, la fattorizzazione o, al contrario la scomposizione.

Le tre identità note di secondo grado sono le seguenti

  • (a + b)² = a² + 2ab + b² - quadrato della somma di due monomi
  • (a - b)² = a² - 2ab + b² - quadrato della differenza di due monomi
  • (a + b) (a - b) = a² - b² - prodotto della somma di due monomi per la loro differenza

La seconda identità nota viene considerata un caso particolare della prima.

Si definiscono prodotti notevoli le espressioni (a + b)², (a - b)² e (a + b) (a - b).

Al di là del segno di uguaglianza, a² + 2ab + b² è una somma notevole, così come a² - 2ab + b²a² - b².

Possiamo trasformare un prodotto algebrico, come nell'esempio qui sotto.

Partiamo dalla funzione f(x) = (2x - 3)² + (x + 5) (3 - x).

Per svolgere l'espressione, prima svolgeremo il prodotto notevole (2x - 3)²:

  • (2x - 3)² = (2x)² - 2 2x 3 + 3²
  • = 4x² - 12x + 9

Per cui f(x) = 4x² - 12x + 9 + (x + 5) (3 - x).

Il paso successivo è svolgere il secondo termine usando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione ((x + 5) (3 - x)).

(x + 5) (3 - x) = x (3 - x) + 5 (3 - x) = 3x - x² + 15 - 5x = -x² - 2x + 15.

Risultato: f(x) = 4x² - 12x + 9 - x² - 2x + 15 = 3x² - 14x + 24.

Fai sempre attenzione a mettere bene le parentesi, soprattutto durante la prima fase del prodotto notevole. Presta attenzione anche ai segni + e -.

Esercitandoti a risolvere le espressioni algebriche senza calcolatrice, potrai risolvere un'equazione, calcolare il quoziente e scomporre ogni tipo di polinomio.

Se hai ancora qualche dubbio chiedi pure al tuo insegnante di matematica, saprà darti degli esercizi mirati per rendere l'aritmetica, l'algebra, la geometria, un gioco da ragazzi!

Non hai bisogno della calcolatrice: il matematico sei tu!

Bisogno di un insegnante di Matematica?

Ti è piaciuto l'articolo?

5,00/5 - 1 vote(s)
Loading...

Catia

Traduttrice e scrittrice con una passione per le lingue