"La matematica universale è la logica dell'immaginazione" Gottfried Wilhem Leibniz (1646-1716)

Durante le lezioni di matematica alle medie e alle superiori, gli studenti iniziano a studiare le basi della statistica e della geometria, in particolare il calcolo della media e della mediana.

La grande incompresa tra queste variabili è la mediana, un indicatore centrale nell'analisi delle probabilità, delle dimostrazioni di geometria e dell'analisi statistica.

Secondo i dati PISA, che misurano le conoscenze di base in matematica, italiano e scienze degli studenti quindicenni dei paesi OCSE, il livello di matematica in Italia è in linea con altri paesi europei.

In italiano, invece, si ha qualche difficoltà nella comprensione dei testi. I buoni risultati ottenuti a matematica, non nascondono il fatto però, che ci sono molte differenze a livello geografico, di genere e provenienza sociale che rendono la scienza dei numeri più o meno complessa.

Per questi studenti in difficoltà è fondamentale recuperare le insufficienze e colmare le lacune per evitare che una semplice incomprensione nel corso degli anni, diventi un ostacolo alla riuscita scolastica.

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Cos'è la mediana in matematica?

Prima di lanciarsi in calcoli interminabili, è bene capire cos'è la mediana.

Il calcolo della mediana è molto semplice.
Come si calcola la mediana in queste sequenza di numeri?

La mediana è un valore che permette di separare due gruppi di dati in due parti uguali.

Il calcolo della mediana di una serie è molto utilizzato in informatica perché permette di fare un'analisi molto più accurata rispetto alla media.

La mediana, quindi, rappresenta il valore centrale in una serie statistica.

Per identificare questo valore bisogna ordinare l'insieme dei valori dal più piccolo al più grande.

Non appena avrai ordinato la tua sequenza in ordine crescente, potrai facilmente trovare il valore che divide l'insieme in due sotto-insiemi uguali.

Prendiamo l'esempio di un insegnante di nuoto che deve formare due gruppi di allievi di livelli diversi.

Mettiamo che chieda a 9 nuotatori di percorrere la vasca a nuoto libero e che poi rilevi per ognuno, il tempo impiegato per completare il tragitto:

30,6 - 29,1 - 32,9 - 35,1 - 30,0 - 36,4 - 31,7 - 35,5 - 33,9

Mettendo questi valori in ordine crescente avremo: 29,1 - 30,0 - 30,6 - 31,7 - 32,9 - 33,9 - 35,1 - 35,5 - 36,4.

Il tempo mediano, o semplicemente la mediana, è 32,9.

Questo valore permette di classificare le prestazioni dei nuotatori in due categorie che hanno lo stesso numero di dati: da un lato, ci sono i giocatori con i tempi più alti, dall'altro quelli con i tempi più bassi.

Che succede se a questo corso di nuoto si aggiunge un altro allievo? Supponiamo che il decimo allievo percorra la vasca in 28,7 sec.

In questo modo, il numero di dati osservati aumenta e la classe raggiunge un numero pari di membri (10 appunto).

La mediana di questa popolazione allora, si trova tra i valori 31,7 e 32,9.

Per fare il calcolo della mediana del gruppo di nuotatori, dobbiamo calcolare la media dei due valori centrali: (31,7 + 32,9) / 2 = 32,3.

Conclusioni: 

  • Se la serie di dati è composta da un numero dispari, la mediana è il valore centrale della serie;
  • Se il gruppo contiene un valore pari, la mediana è data dalla media dei due valori centrali della serie.

Facile, no? 

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Come si calcola la mediana in una serie statistica discreta

In statistica, una variabile è discreta quando contiene un numero definito di valori reali.

Puoi fare un esempio tratto dalla vita quotidiana per capire come si trova la mediana.
I calcoli sono corretti?

Per esempio, prendiamo il numero di messaggi inviato dai ragazzi del secondo liceo nella chat di classe.

Supponiamo che la distribuzione dei messaggi inviati sia 5, 12, 11, 10, 6, 17, 11, 12, 10, 13, 9, 11, 12, 8, 7, 10, 11, 10, 12, 11, 9, 10, 8, 11.

Disponiamo i valori in ordine crescente

Il primo passo per trovare il valore mediano consiste nel mettere questa serie in una tabella, scrivendo i valori in ordine crescente e accanto, la popolazione a cui fanno riferimento.

Otteniamo la tabella seguente:

Xi: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 17 è la serie di dati in ordine crescente

N1: 1, 1, 1, 2, 2, 5, 6, 4, 1, 1 è il numero degli studenti che hanno inviato i messaggi di cui sopra

Se prendiamo i dati cumulati, riusciamo a organizzare i dati per categorie. Nel nostro esempio, vediamo che 12 studenti hanno inviato meno di 10 messaggi.

Calcolare la frequenza crescente cumulata, ci permette di esprimere i valori dei risultati in percentuali. In questo modo possiamo rappresentare ciascun dato raggruppando la popolazione in gruppi.

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Calcolare la mediana per dati raggruppati

Se il numero di dati è dispari la mediana equivale a (N+1)/2° valore.

Nel nostro caso Ni è un numero pari, 24.

La mediana che separa il numero di individui della nostra serie in due parti uguali è la media di (N/2) e (N+1)/secondo valore.

Nel nostro caso, dobbiamo calcolare la media tra il 12° e il 13° dato. La mediana Me è pari a 10,5.

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Calcolo mediana di una serie continua

I dati di cui dobbiamo trovare la mediana possono essere numeri finiti o un numero incalcolabile di valori.

A volte bastano poche lezioni, online oppure a domicilio, per capire variabili come la mediana.
Con le lezioni di matematica a domicilio ho iniziato a capire l'analisi statistica!

La temperatura, è uno di quei valori compresi all'interno di un intervallo di cui può assumere tutti i valori intermedi: è una variabile quantitativa continua. In effetti, può assumere un'infinita di valori tra 30° C e 31° C: possiamo avere valori come 30,1 °C, 30,5 °C ma anche 30,99999 °C o 30,00001 °C ecc.

Il primo passo consiste nel calcolare la curva delle frequenze cumulate crescenti per identificare la mediana e il quartile della serie.

Ad esempio, vogliamo misurare la percentuale della popolazione che ha uno stipendio compreso tra 500 € e 2.100 € al mese.

Supponiamo che la distribuzione del reddito sia la seguente:

Numero di personeStipendio mensile (€)
40500-800
31800-1.100
251.100-1.200
521.200-1.500
371.500-1.800
181.800-2.000
272.000-2.100

Il totale dei dati N, è 230 persone. Calcoliamo poi la frequenza e la frequenza cumulata.

Puoi rappresentare la frequenza cumulata su un piano cartesiano, mettendo nelle ascisse i valori e nelle ordinate, le frequenze cumulate.

In questo riusciamo a leggere la mediana anche graficamente, senza dover passare per il calcolo matematico.

Il piano cartesiano serve a rilevare la mediana anche senza calcoli.
Con un grafico puoi vedere a colpo d'occhio come si comporta la serie di valori!

Possiamo vedere chiaramente che la mediana della nostra scala è 13, a cui corrisponde un salario medio di 300 €.

I quartili che si trovano al 25% e la 75% hanno rispettivamente dei valori di 9,7 e 17.

Analisi: il 25% dei valori della serie è inferiore o pari a 9,7. Il 75% dei valori è inferiore o pari a 17.

Possiamo dedurre che il 25% dei valori sono compresi tra 17 e 21.

Nel nostro esempio concreto, la mediana può essere interpretata in questo modo: il 25% della popolazione attiva ha uno stipendio inferiore a 970 € al mese, mentre il 75% delle persone guadagna meno di 1.700 €.

Infine, possiamo notare che il 25% del nostro campione guadagna tra 1.700 e 2.100 € al mese.

Puoi divertirti a calcolare altri decili e centili per vedere, ad esempio, qual è la dispersione del reddito di una classe di popolazione data. Sapevi con la matematica puoi realizzare un cono perfetto ed eseguire la tassellatura di ogni superficie?

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Come si calcola la mediana in geometria?

Anche in geometria la mediana è molto utilizzata, soprattutto quando si rappresenta il triangolo.

Basta una lezione di matematica per imparare a calcolare la mediana dei triangoli.
I triangoli non avranno più segreti con te!

In tutti i programmi di matematica, a partire dalle medie, troviamo la nozione di mediana di un triangolo. Alcuni studenti incontrano qualche difficoltà che poi si portano dietro anche alle scuole superiori. Per fugare ogni dubbio, potresti chiedere spiegazioni al tuo insegnante di matematica.

La mediana di un segmento è la retta che passa per il punto medio di questo segmento e il vertice opposto. In un triangolo ABC, la mediana è il segmento che unisce i tre vertici con il punto medio del lato opposto, vale a dire il segmento AI, dove I è il punto medio del lato AB.

Supponiamo che i segmenti AI e IB abbiano la stessa lunghezza perché il nostro è un triangolo isoscele. L'area del triangolo AB è uguale a quella del triangolo ACI.

Questo ci permette di introdurre un tema centrale in geometria, il teorema della mediana:

Le mediane dei tre lati del triangolo si intersecano al centro della figura in un punto che viene chiamato baricentro: il centro di gravità del triangolo.

In un triangolo isoscele, con due lati uguali, quindi, anche le due mediane avranno la stessa lunghezza.

In un triangolo rettangolo, la mediana che parte dal vertice opposto all'angolo retto, misura la metà dell'ipotenusa.

Sai come scrivere l'enunciato di una congettura matematica?

Media e mediana: qual è la differenza?

Uno degli errori più comuni quando si studia la mediana è confonderla con la media.

Con una lezione di matematica puoi finalmente imparare a distinguere media e mediana.
Hai dubbi su quale sia la mediana e quale la media?

La prima differenza è che i valori estremi di una serie influenzano il calcolo della media, ma non hanno alcun effetto sulla mediana.

La media aritmetica permette di riassumere dei dati con un solo sumero reale e si calcola facendo la somma dei termini diviso il totale.

Le grandezze non hanno alcun valore nulla mediana perché essa rappresenta il valore centrale di una serie.

Con la mediana, si ha a colpo d'occhio un'organizzazione dei dati in base al suo valore centrale e serve a capire quali sono le differenze nella distribuzione.

Prendiamo ad esempio il reddito pro capite in Italia: 31.641 € l'anno nel 2019. Dividendo questa per dodici mesi abbiamo uno stipendio mensile di 2.636 € a testa. Questa è la media, ma non ci dice nulla su come è distribuita la ricchezza.

Le persone più ricche, fanno salire meccanicamente la media, perché guadagnano sei volte in più rispetto alle persone meno benestanti; non solo, secondo l'Istat, il 20,1% della popolazione italiana, ossia 12,06 milioni di abitanti, è a rischio povertà perché, secondo i dati de 2019, guadagna meno di 858 € al mese.

Questo è il motivo per cui bisogna interessarsi ai quartili (25% e 75%) e alla mediana per capire meglio come si comportano le classi di dati, nel nostro caso la popolazione.

Cerchi di risolvere un problema con gli intervalli?

La matematica e la statistica descrittiva non sono solo numeri: sono strumenti per poter capire la società in cui viviamo e agire per poterla migliorare!

Se vuoi avere più informazioni sulla mediana, contatta un insegnante di matematica!

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Catia

Traduttrice e scrittrice con una passione per le lingue