"La parola evidente è la più pericolosa in matematica", Eric Temple Bell (1883-1960)

Hai deciso di prendere delle lezioni di matematica per perfezionare il tuo livello?

La matematica è, senza dubbio, una delle materie scolastiche più richieste per chi cerca ripetizioni e lezioni a domicilio.

Secondo i dati PISA-OCSE, il livello di conoscenza della matematica dei ragazzi di 15 anni in Italia è in linea con quello degli altri paesi membri dell'organizzazione per la cooperazione e lo sviluppo economico.

Tuttavia ci sono molte differenze, con il Nord sopra la media OCSE, il Centro in linea e il Sud, al di sotto. Ci sono anche differenze di genere - i ragazzi hanno migliori prestazioni delle ragazze - e differenze per indirizzo scolastico: i licei, poi gli istituti tecnici e infine gli istituti professionali.

Senza contare poi le disparità in base alla situazione socio-economica della famiglia di origine. Insomma, ci sono molti studenti che hanno bisogno di prendere ripetizioni di matematica perché non raggiungono la sufficienza.

 Se anche tu riscontri delle difficoltà, potresti iniziare a ripassare alcuni punti del programma di matematica per le scuole superiori!

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Come si calcola la mediana?

La mediana è uno degli argomenti che si studiano in matematica fin dalle medie.

La geometria è una materia fondamentale alle elementari, superiori e medie.
Gli elementi di geometria accompagnano tutto il percorso scolastico degli allievi!

Nonostante possa sembrare semplice, come i problemi con gli intervalli, è anche uno degli argomenti che genera più confusione tra gli studenti.

Dovrai ripassare il concetto di mediana per le prove di geometria, il calcolo delle probabilità e algebra.

Cos'è la mediana?

La mediana è un valore che permette di dividere una serie statistica in due parti uguali, in modo che si possano ordinare i dati dal valore più piccolo a quello più grande.

In altre parole, la mediana è il valore centrale che divide in due una serie di dati. Per calcolare la mediana bisogna ordinare i valori della scala (la popolazione osservata) in ordine crescente.

Nell'elenco ordinato, il 50% dei valori è inferiore alla mediana e il 50% è superiore.

Il teorema è il seguente:

  • Se l'effettivo totale è dispari, la mediana è il valore centrale della serie
  • Se il gruppo contiene un valore pari, allora la mediana è la media dei due valori centrali della serie

Per esempio, se vogliamo conoscere la statura media di una squadra di 11 giocatori di calcio prima "ordiniamo" il nostro gruppo in base alla statura espressa in cm.

Supponiamo di ottenere il seguente risultato: 168, 170, 172, 175, 177, 178, 180, 182, 183, 185, 190. In questo caso l'altezza mediana di un giocatore di calcio è 178 cm.

Se uno dei giocatori, mettiamo quello che misura 168 cm, viene espulso, ne rimangono 10 in campo. In questo caso dobbiamo calcolare la media tra i due valori centrali ossia (178 + 180)/2 = 179.

La mediana dà una rappresentazione chiara del centro della serie: nel nostro esempio metà dei giocatori è alto meno di 1,78 m e l'altra metà è più alta.

Potrebbe essere più utile calcolare la mediana rispetto alla media quando ci sono dei valori estremi.

Prendiamo il caso della distribuzione del reddito in Italia: oltre il 25% della popolazione attiva percepisce meno di 10.000 € l'anno, mentre lo stipendio medio sarebbe di oltre 31.641 €. La media non mette in evidenza le disparità economiche.

Per calcolare la mediana di una serie statistica (discreta o continua, con un'infinità di valori potenziali all'interno dell'intervallo), usiamo il metodo seguente:

  • Mettiamo in ordine i valori della serie
  • Creiamo una tabella con i dati cumulati
  • Troviamo la mediana come media Me tra N/2 e N+1/2

Possiamo anche rappresentare graficamente la mediana grazie al piano cartesiano. La mediana sarà utile in aritmetica ma anche in geometria applicata o topografia.

Scopri come la matematica può aiutarti a creare un cono di carta, fare degli origami o delle tassellature regolari.

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Come svolgere le espressioni algebriche

L'algebra viene introdotta nel programma di matematica a partire dalle medie e si approfondisce alle scuole superiori. Gli studenti scoprono che oltre ai numeri si possono usare anche le lettere. Bisogna imparare a risolvere le espressioni algebriche.

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Gli studenti di economia offrono ripetizioni di algebra per medie e superiori!

Svolgere un'espressione letterale significa trasformare un prodotto di fattori (o una semplice moltiplicazione) in una somma o una differenza in modo da semplificare il calcolo.

Le scritture prendono le seguenti forme: k x (a + b) = k x a + k x b.

Svolgere delle espressioni algebriche velocizza le operazioni perché semplifichiamo, riduciamo e raccogliamo i termini che hanno lo stesso valore.

Possiamo aggiungere x², e i numeri interi, o reali.

Per risolvere le espressioni letterali e trovare il risultato di un'equazione con polinomi di primo grado, usiamo due metodi:

  • la proprietà distributiva
  • la doppia distributività

La proprietà distributiva permette di eliminare le parentesi e arrivare a una scrittura semplificata, una somma o una differenza.

Secondo il teorema della distributività, un'operazione costituita da un prodotto di numeri e fattori diversi si distribuisce su un'operazione sotto forma di una somma di fattori se, qualunque siano i numeri a, b o c abbiamo: a (b + c) = (a x b) + (a x c).

Per risolvere delle equazioni costituite da polinomi di secondo grado come f(x) = (x - 1)(2x + 3), bisogna adottare il metodo della doppia distributività.

Prima, raggruppiamo i termini per farli comparire come una somma, dopo aver svolto il prodotto:

  • (a + b) (c − d) = ac – ad + bc − bd
  • (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd
  •  (a − b) (c + d) = ac + ad – bc − bd
  •  (a − b) (c − d) = ac – ad – bc + bd

L'obiettivo è trovare la forma estesa dell'espressione f(x) = (x - 1)(2x + 3).

Se (a − b) (c + d) = ac + ad – bc − bd, allora otteniamo:

  • f(x) = (x - 1)(2x + 3),
  • 2x + x x 3 - 1 2x + (-1 x 3)
  • 2x² + 3x - 2x - 3
  • = 2x² + x - 3

Non ti resta che trovare la formula giusta secondo l'equazione degli esercizi di matematica. Per esempio, data l'espressione  (3x + 1) (2x + 4), usare la formula (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd restituisce:

  • 3x + 1) (2x + 4) = 3x 2x + 3x 4 + 2x + 4
  • 6x² + 12x + 2x + 4
  • 6x + 14x + 4

Per semplificare i calcoli, devi usare i prodotti notevoli. Ce ne sono tre che devi imparare a memoria per risolvere le equazioni di secondo grado:

  • (a + b)² = a² + 2ab + b²
  • (a - b)² = a² - 2ab + b²
  • (a + b) (a - b) = a² - b²

Non ti resta che applicare le formule e sostituire i termini per trovare il risultato.

Prima di risolvere le equazioni ripassa le basi, come la divisione euclidea e il calcolo del quoziente.

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Come fattorizzare in matematica

Al contrario del raccoglimento, la fattorizzazione di un'espressione letterale, trasforma una somma o una differenza in un prodotto di fattori.

In aritmetica i calcoli usano solo i numeri, mentre in algebra ci sono anche le lettere!
Dopo aver compreso le basi dell'aritmetica, i calcoli saranno più semplici!

Si tratta di una delle operazioni più utili in matematica, in particolare per il calcolo a mente in geometria e algebra.

Bisogna moltiplicare le variabili dell'equazione per un fattore comune.

Ecco cosa significa fattorizzazione in matematica: cercare un fattore comune all'interno dell'espressione.

Per esempio, cercheremo il fattore che consente di moltiplicare primo e secondo termine di un'espressione: 2x + 10 per esempio, è uguale a x + 2 x 5, ossia 2(x+5).

Possiamo usare la proprietà distributiva e le identità notevoli di un polinomio.

Prendiamo l'equazione  4x² = 64. Trovare il risultato f(x) = 0 implica che 4x² - 64 = 0.

Qui notiamo che 4 è un multiplo di 2 e che 64 è un multiplo di 8.

Possiamo allora fattorizzare l'espressione con (fx) = (2x - 8) (2x + 8).

Questa forma corrisponde a uno dei tre prodotti notevoli: a² - b² = (a+b) (a-b).

Per andare più lontano, dovrai esercitarti e imparare a fare delle congetture in matematica.

Se hai qualche difficoltà con le nozioni di funzione e fattorizzazione, puoi sempre chiedere aiuto a un insegnante privato! Saprà spiegarti anche come svolgere i problemi con gli intervalli!

Come scrivere un algoritmo in matematica

Le lezioni di matematica che si prendono alle medie, gettano le basi non solo per le superiori, ma anche per la programmazione, in particolare la creazione di algoritmi.

Per diventare programmatore devi fare affidamento sulle tue competenze logico-matematiche!
Con delle buone basi di matematica, la facoltà di informatica è più vicina!

Durante le lezioni di matematica, si familiarizza con le nozioni di variabili, ipotesi, mentre gli esercizi insegnano a ripetere un ciclo fino a che non si ottiene il risultato sperato.

Tutto questo ci avvicina molto alla definizione di algoritmo.

Un algoritmo rappresenta una serie di istruzioni ordinate che hanno per obiettivo quello di raggiungere un risultato finale in base alle informazioni note.

Per scrivere un algoritmo, il matematico usa un linguaggio naturale, la propria lingua madre, o l'inglese in programmazione informatica, per dare delle istruzioni comprensibili.

Poi, queste istruzioni vengono tradotte in un linguaggio che la macchina interpreta tramite un robot: sono i linguaggi di programmazione (C, C++, PHP, Java, Javascript, Python, HTML o CSS) che permettono di eseguire il programma.

Il linguaggio usato dagli algoritmi è a metà tra quello umano e il codice di programmazione.

Se vuoi trovare degli esempi di algoritmi nella tua vita quotidiana ti basta seguire una ricetta, attraversare la strada o suonare più volte un brano musicale.

Il cervello comanda a ripetizione delle operazioni fase per fase, fino a che non raggiunge il suo obiettivo. Un esempio di variabili è "guarda a destra", poi "guarda a sinistra" "se non passa nessuna macchina, attraversa la strada".

Per scrivere un algoritmo, quindi, bisogna definire le variabili:

  • Numeriche
  • Testuali (una stringa di caratteri)
  • Variabili booleane con un valore vero e falso

Un algoritmo risponde a un processo binario (0 o 1) con degli eventi probabili: se si verifica una condizione, allora si produce un risultato.

Per imparare la programmazione puoi usare siti web come BloccksCAD e Scratch, ma per una vera lezione di matematica hai bisogno di un insegnante!

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Catia

Traduttrice e scrittrice con una passione per le lingue