"Fintanto che le leggi della matematica rimandano alla realtà, non sono assolute, e in quanto non assolute, non rimandano alla realtà," Albert Einstein

La classificazione degli intervalli fa parte del programma scolastico di matematica e viene insegnata durante le prime lezioni di algebra.

Gli intervalli aiutano a determinare un insieme di coordinate, un insieme limitato o un insieme continuo per numeri interi naturali, interi relativi e numeri razionali.

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Cos'è un intervallo?

Prima una breve rinfrescata sul concetto di intervallo che abbiamo imparato alle medie: un intervallo è un insieme, vale a dire tutti gli elementi compresi tra due estremi e quindi compresi all'interno dell'intervallo.

Comprendere gli intervalli aiuta a definire la periodicità degli eventi.
Un fenomeno è periodico quando si ripete in un determinato modo!

Partiamo da un insieme di numeri reali R.

L'intervallo  l'insieme di numeri reali compresi tra due reali positivi o negativi x e y (o a e b se preferisci), vale a dire l'insieme dei punti del segmento con estremi a e b.

Prendiamo per esempio l'intervallo [4 ; 6]. Indica l'insieme dei numeri reali x tali che 4 ≤ x e x ≤ 6.

Nel nostro intervallo, quindi, sono inclusi i numeri positivi 4, 5 e 6, dato che x deve essere maggiore e uguale a 4 e minore e uguale a 6.

Esistono diversi tipi di intervalli:

  • Intervallo chiuso
  • Intervallo aperto
  • Intervallo limitato
  • Intervallo illimitato

Esistono anche le intersezioni e le unioni tra due o più intervalli.

Vedremo in che modo si applicano gli intervalli ai numeri positivi e negativi di un insieme limitato.

Scopri anche come calcolare la mediana o fare congetture matematiche!

Come si scrive un intervallo?

Gli estremi di un intervallo sono indicati con le paretesi quadre:

  • intervalli aperti ] a ; b [
  • intervalli chiusi [a ; b]
  • intervalli semiaperti [a ; b [ e ] a ; b]
Se conosci le funzioni saprai effettuare l'analisi di diversi tipi di intervalli.
Le nozioni di insieme convessi finiti ecc. sono legate a quella di intervallo!

Per indicare gli estremi di un intervallo bisogna seguire un ordine matematico crescente: quindi, prima l'estremo inferiore poi l'estremo superiore. Non si può mai scrivere un intervallo in ordine decrescente.

Quando le parentesi sono chiuse, significa che ogni estremo appartiene all'intervallo. Quando le parentesi sono aperte, significa che gli estremi non appartengono all'intervallo.

Attenzione: non bisogna mai confondere gli intervalli con l'insieme di numeri che si scrivono con le parentesi graffe.

Per esempio, ecco l'insieme dei numeri interi {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9}. Comprende tutti i numeri tra 0 e 9 inclusi.

Per designare degli insieme astratti usiamo delle lettere. Questo tipo di notazione è stata presa in prestito dal calcolo letterale.

Quando calcoli degli intervalli, troverai spesso questi tipi di insiemi:

  • N, l'insieme dei numeri naturali
  • Z, l'insieme dei numeri interi relativi
  • D, l'insieme dei numeri decimali
  • Q, l'insieme dei numeri razionali (cioè tutti i numeri che si possono scrivere sotto forma di quoziente di due numeri interi relativi)
  • R, l'insieme dei numeri reali
  • I, l'intersezione di due insiemi
  • U, l'unione di due intervalli

Trovi anche dei segni matematici per indicare due insiemi di numeri reali e la loro intersezione.

All'inizio potrebbe sembrare tutto un po' complicato e astratto, ma vedrai che con la pratica, sarà molto facile imparare a indicare gli intervalli. Sono la trascrizione aritmetica di un enunciato.

Permettono di visualizzare un dato matematico grazie a uno schema di partenza. Con questa rappresentazione grafica puoi vedere a colpo d'occhio come interagiscono gli intervalli.

Per assimilare correttamente tutti gli elementi e i caratteri usati per indicare gli insieme, basta esercitarsi.

Infine, per completare la scrittura degli intervalli ecco una tabella di riepilogo e i segni usati:

SimboloSignificato
Appartiene
Non appartiene
Insieme infinito
Intersezione
Unione
Diverso da
Maggiore o uguale
Minore o uguale
<Strettamente maggiore
>Strettamente minore

Ora che conosci il linguaggio usato da tutti i matematici per indicare gli intervalli, possiamo fare un po' di pratica con un esercizio sugli insiemi.

Sapevi che oggi si può imparare la matematica online? Potrai imparare a risolvere le espressioni e fattorizzare i polinomi.

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Come svolgere un problema con un intervallo

Vediamo come risolvere un problema con gli intervalli. Non ti preoccupare, è sufficiente leggere attentamente l'enunciato e creare uno schema per visualizzare cosa contiene un insieme, ciò che fa parte dell'insieme e ciò che ne rimane fuori.

Devi prestare molta attenzione al senso delle parentesi. Sono determinanti per capire se gli estremi appartengono o meno all'intervallo.

Le indicazioni sugli estremi dell'intervallo sono nelle parentesi aperte o chiuse.
Per calcolare un intervallo devi fare attenzione alle parentesi quadre!

Se ti è chiaro come leggere i segni in matematica riuscirai a distinguere tra i seguenti intervalli:

Intervalli limitati

Contiene i limiti degli intervalli come negli intervalli seguenti:

  • [a ; b] = a ≤ x ≤ b
  • [a ; b] = a ≤ x < b
  • ] a ; b] = a < x ≤ b
  • ] a ; b [= a < x < b

Quando le parentesi sono chiuse, x è superiore o uguale ad a e inferiore o uguale a b. Se le parentesi sono aperte, x è strettamente superiore ad a e strettamente inferiore a b.

Come vedi, esistono diverse possibilità.

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Intervalli illimitati

Siano a e b due numeri diversi:

  • [a ; ∞[= x ≥ a
  • ] a ; ∞[= x > a
  • ] - ∞ ; b] = x ≤ b
  • ] - ∞ ; b [= x < b

Gli intervalli sono illimitati quando uno degli estremi è l'infinito. Non sappiamo dove inizia o dove finisce l'intervallo.

Interazione tra intervalli

L’intersezione degli intervalli [a ; b] e [c ; d] è l'insieme x dei reali compresi tra  [a ; b] e [c ; d]. Indichiamo l'intersezione con il simbolo ∩.

Siano a, b, c e d quattro numeri interi positivi per cui l'intersezione I tra i due intervalli si scrive in due modi equivalenti:

I=[a ; b] ∩ [c ; d] oppure I=[c ; d] ∩ [a ; b]

Per esempio:

2 ∈[0 ; 5] ∩[2 ; 6] perché 2 ∈[0 ; 5] e 2 [2 ; 6]

Per determinare l'intersezione tra due intervalli, l'ideale è rappresentare un insieme su una retta per vedere come si posiziona ciascun elemento e ciò che è commutativo, vale a dire quali elementi formano l'insieme.

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Unione di intervalli

Si tratta dell'insieme dei numeri reali x che sono sia nell'intervallo [a ; b] sia nell'intervallo [c ; d].

L'unione viene indicata con il simbolo ∪.

Siano a, b, c e d quattro numeri immaginari per cui l'unione U tra questi due intervalli è il seguente:

U=[a ; b] ∪ [c ; d] oppure U=[c ; d] ∪ [a ; b]

Esempio:

2 ∈[0 ; 5] ∪ [2 ; 6] poiché 2 ∈[0 ; 5]

3,8 ∈[0 ; 5] ∪ [2 ; 6] poiché 3,8 ∈[0 ; 6]

Per determinare l'intersezione di due intervalli, si rappresentano i due intervalli su un asse graduato e si individua l'insieme dei numeri del primo intervallo poi l'insieme dei numeri del secondo.

Disequazioni e intervalli

L'insieme delle soluzioni di una disequazione è sempre un intervallo o un insieme vuoto.

Una disequazione di un'incognita x è un'espressione che assume questa forma:

A (x) ≤ B(x) oppure A(x)<B(x)

La variabile x è ignota.

Risolvere la disequazione significa trovare tutti i valori di x per cui la disuguaglianza viene soddisfatta: l'insieme di questi numeri reali viene chiamata l'insieme delle soluzioni della disequazione.

Si dice che due disequazioni siano equivalenti quando hanno lo stesso insieme di soluzioni.

Ecco come trasformare due disequazioni in una disequazione equivalente:

  • Aggiungere o sottrarre lo stesso numero non nullo ai due membri
  • Moltiplicare o dividere i due membri per lo stesso numero positivo non nullo
  • Moltiplicare o dividere i due membri per uno stesso numero negativo non nullo
  • Sviluppare, fattorizzare e ridurre i membri

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Disuguaglianze

Per le disuguaglianze è necessario conoscere tre regole. La prima è che possiamo aggiungere o sottrare lo stesso numero a ogni membro della disuguaglianza: se a≤b, allora a+c≤b+c.

La seconda è che possiamo addizionare i membri di due disuguaglianze che hanno lo stesso senso: se a≤b e c≤d, allora a+c≤b+d.

La terza regola è che possiamo moltiplicare o dividere ogni membro di una disuguaglianza per un membro non nullo, a patto che modifichiamo il senso della disuguaglianza se questo numero è negativo.

Valore assoluto

Il valore assoluto di un numero reale è la distanza tra il punto O e il punto M dell'ascissa x su una retta graduata.

La rappresentazione grafica è il modo migliore per comprendere unioni e intersezioni di intervalli.
Come calcolare l'unione degli intervalli o le intersezioni?

La distanza tra due punti A e B che hanno la stessa ordinata equivale al valore assoluto dell'ascisse dei due punti.

Con questo articolo speriamo di averti offerto degli spunti per ripassare le nozioni alla base degli intervalli. Come avrai compreso, in matematica si usano numeri reali che vanno da -∞ a +∞. La nostra attenzione, il più delle volte si rivolge a una parte di questi numeri ed è qui che entrano in gioco gli intervalli. Sono quindi dei sottoinsiemi dei numeri reali che indicano quali numeri appartengono all'insieme o, al contrario, quali ne sono esclusi.

Il tuo insegnante di matematica saprà darti spunti più precisi per aiutarti a superare un'interrogazione, un esame o semplicemente capire come svolgere degli esercizi con gli intervalli e ogni altro argomento di matematica.

Puoi anche usare la scienza dei numeri per svolgere attività creative come realizzare un cono di carta o fare la tassellatura di una superficie!

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Catia

Traduttrice e scrittrice con una passione per le lingue