Essere matematici consiste nel provare una cosa evidente con dei mezzi complessi.
Georges Polya
La fattorizzazione dei polinomi è un tema centrale nei corsi di matematica fin dalla terza media. Si possono calcolare più facilmente le addizioni e le sottrazioni e si risolvono meglio alcune equazioni, proprio grazie alla fattorizzazione o scomposizione in fattori.
Gli studenti che riscontrano delle difficoltà e vogliono migliorare in matematica, manifestano le prime perplessità nella fattorizzazione delle espressioni letterali. In questo articolo vedremo diversi modi per fattorizzare un'espressione algebrica!
Introduzione: cos'è la fattorizzazione e come fattorizzare i numeri
Fattorizzare un numero, o scomporlo in numeri primi, è un procedimento algebrico attraverso cui si riscrive un determinato numero come prodotto di altri numeri, cioè fattori.
La fattorizzazione può anche essere applicata alle espressioni. Fattorizzare un'espressione letterale significa trasformarla in un prodotto di due o più fattori più semplici. Allo stesso modo fattorizzare un polinomio significa esprimerlo sotto forma di prodotto di più polinomi. Scomporre delle espressioni algebriche in fattori è uno dei modi per risolvere le equazioni di primo grado.
Questo processo serve a semplificare l'espressione e rendere i calcoli più semplici da eseguire.
Nel calcolo a mente, per esempio, capita spesso di effettuare la fattorizzazione raggruppando i termini simili: il nostro cervello individua i fattori comuni, poi svolge la somma dei due termini con la stessa natura. Facile, come calcolare la mediana!
Prendiamo l'esempio di un'operazione semplice come 200 x 25 + 425 x 25.
Per trovare il risultato, cerchiamo di semplificare il calcolo in questo modo:
- 200 x 25 + 425 x 25
- = 25 x (200+425)
- = 25 x 625
- = 15.625
In questo caso il 25 è il fattore o denominatore comune a queste moltiplicazioni.
Tutto quello che dobbiamo fare è addizionare i due termini e applicare un fattore comune, ossia il 25, per risolvere l'equazione.
Supponiamo che dobbiamo calcolare l'area della superficie compresa tra due cerchi, rispettivamente con un raggio di 25 cm e 15 cm.
Per eseguire questo calcolo algebrico, cerchiamo la differenza tra l'area dei due cerchi: A = (π x R²) - (π x R²) = (π x 25²) - (π x 15²).
(π x 25²) - (π x 15²) serve a calcolare prima, il quadrato dei due prodotti, poi a moltiplicare per un valore approssimativo di π (3,14) e infine fare la sottrazione tra le due aree.
Il risultato è: A = π x (25² - 15²).
Grazie a due identità note, sappiamo che la differenza tra i quadrati assume la seguente forma:
- a² - b² = (a - b) (a + b)
- A = π (25 - 15) x (25 + 15)
- = π x 10 x 40
- = π x 400, ossia 400 π
Se π assume il valore approssimativo di 3,14, allora l'area compresa tra i due cerchi del nostro esempio è 400 π, vale a dire circa 1.256 cm².
Durante le lezioni di matematica si usano due metodi per fattorizzare un'espressione:
-Il metodo distributivo
-I prodotti notevoli
Il metodo distributivo si basa sulla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione (o sottrazione). La proprietà distributiva afferma che: a(b+c)=ab+ac
In poche parole, se c'è un fattore comune in un'espressione, possiamo "distribuirlo" su ogni termine tra parentesi.
Come fattorizzare un'espressione letterale
Come sempre in matematica, e come sempre durante le ore di ripetizioni matematica bologna, ogni volta che devi sviluppare delle espressioni, svolgere delle operazioni o trasformare un prodotto, devi conoscere le regole di algebra da applicare.
Per arrivare a fattorizzare un'espressione e un prodotto di fattori, bisogna prima tentare di isolare un fattore comune, sicuramente ti capiterà di farlo nelle tue lezioni di matematica!
Ad esempio, cerchiamo il termine comune che ci permette di moltiplicare il primo e il secondo termine dell'espressione 4x+20. Facendo il raccoglimento a fattor comune abbiamo 2 x (2x + 10) perché 2 è il massimo comune divisore di tutti i numeri di questa espressione.
Fattorizzare significa essere in grado di individuare i prodotti comuni e scomporre l'espressione.
Un'espressione letterale è una combinazione di lettere (variabili) e numeri, e la fattorizzazione in questo caso consiste nel "decomporre" l'espressione in un prodotto di termini più semplici, se possibile.
Se vogliamo conoscere il risultato dell'equazione f(x) = 0, partiamo dalla regola che un prodotto è nullo solo se uno dei suoi fattori è nullo.
Se possiamo scrivere f(x) = 0 sotto la forma y(x) x (g(x) = 0, sarà sufficiente trovare una soluzione per cui y(x) = 0 oppure g(x) = 0.
Ecco un altro esempio:
Immaginiamo che al compito in classe, tu debba risolvere la seguente equazione algebrica: 4x² = 64.
Non è sempre facile risolvere un'equazione a mente. La cosa migliore da fare è sostituire la x con 1, 2 poi con x=3, x=n fino a quando non troviamo il valore per cui 4x² = 64.
Se invece di andare a tentativi, trasformiamo l'equazione in modo che abbia un prodotto comune, allora diventerà più facile arrivare alla soluzione.
4x²=64 equivale a 4x² - 64 = 0.
L'espressione algebrica f(x) è 4x² - 64. Se f(x) è uguale a 0, allora la sottrazione di 4x² - 64 è nulla.
Possiamo notare che f(x) possiede una differenza notevole: una sottrazione tra due quadrati.
Quindi possiamo fattorizzare in questo modo: (2x - 8) (2x + 8) = 0.
Per verificare l'eguaglianza, è sufficiente che 2x - 8 = 0 oppure 2x + 8 = 0.
La soluzione di 2x - 8 = 0 è 8/2, vale a dire 4; la soluzione di 2x + 8 è -4. L'equazione 4x² = 64, quindi, ha due soluzioni: [-4 ; 4].
Bisogna fare sempre molta attenzione ai segni per la risoluzione delle equazioni di secondo o di primo grado. Dopo la semplificazione, il passaggio di un termine positivo accanto a un segno uguale lo rende negativo, e vice versa.
Bisogna anche fare attenzione ad aprire e chiudere le parentesi dei polinomi. Senza le parentesi non si possono applicare le priorità dell'operazione.
Infine, è sempre importante verificare i risultati per vedere concretamente che il ragionamento matematico non ti abbia tratto in errore. Questo procedimento sarà utile quando imparerai a scrivere un algoritmo. Durante un test o una prova di matematica, sarebbe un peccato perdere dei punti per non aver cambiato un segno.
Esempio di fattorizzazione di più fattori comuni
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Ma ora torniamo agli esempi di fattorizzazione. Quando il fattore comune si compone di un solo termine, l'operazione è relativamente semplice.
Cosa succede quando il fattore comune è costituito da due termini?
Vediamolo con questo breve esercizio o esempio di fattorizzazione:
Trova il fattore comune e scomponi in fattori la seguente espressione: (2x - 1) (x + 3) - (4x - 5) (x + 3).
L'espressione assume questa forma: (ax + ...) + (ax + ...). Ricordati che le espressioni letterali ti aiutano a generalizzare delle proprietà, realizzare degli schemi di calcolo e risolvere qualunque tipo di espressione, semplicemente sostituendo i valori!
In questo caso il fattore comune è (x + 3), con due termini. Per fattorizzare andremo a svolgere e ridurre l'espressione usando lo stesso procedimento che adottiamo per un solo termine: (2x + 4 = x(x+2)). Dovremo fare attenzione a come usiamo le parentesi per isolare i termini giusti senza commettere errori.
Ecco il risultato:
- Il fattore comune è (x+3)
- Usiamo la proprietà distributiva, facendo attenzione al segno
- A = (2x - 1) (x + 3) - (4x - 5) (x + 3)
- A = (x + 3) [(2x – 1) – (4x – 5)]
- A = (x + 3) (2x – 1 – 4x + 5)
- A = (x + 3) (– 2x + 4)
Affinché A sia uguale a 0, è necessario che (x + 3) = 0 oppure (-2x + 4) = 0.
Abbiamo due soluzioni: x = -3 e x = 2.
Regola della fattorizzazione con i prodotti notevoli
La fattorizzazione con i prodotti notevoli si esegue quando non si riesce a trovare alcun fattore comune all'interno di un'espressione letterale. I prodotti notevoli vengono usati per svolgere un'espressione matematica, ma possiamo usarli anche per la scomposizione in fattori.
In un polinomio, non sempre riusciamo a trovare un massimo comune divisore ed è proprio in questo caso che ci servono i prodotti notevoli.
Ci sono tre prodotti notevoli che dobbiamo imparare a memoria:
- (a+b)² = a² + 2ab + b², cioè il quadrato di un binomio
- (a+b) (a-b) = a² - b², cioè la differenza di quadrati
- (a + b)^3 = a^3 +3a^2b + 3ab^2 + b^3, il cubo di binomio
Sono molto utili per risolvere le equazioni di secondo grado, per questo fanno parte del programma scolastico di matematica.
Possiamo riscrivere la prima identità dicendo che il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo termine più il prodotto doppio del primo per il secondo termine più il quadrato del secondo.
La seconda identità indica che il quadrato della differenza tra due termini è uguale al quadrato del primo termine meno il prodotto doppio del primo per il secondo termine più il quadrato del secondo termine.
L'ultima identità, descrive come calcolare il cubo di un binomio, cioè quando eleviamo alla terza potenza un'espressione della forma (a+b).
Esercizi:
Scomponi in fattori l'espressione a² + 6a + 9.
Risposta:
a² + 6a + 9 = a² + 2a x 3 + 3² da cui a² + 6a + 9 = (a+3)².
Scomponi in fattori x² - 81.
Cerchiamo un valore di x per il quale il quadrato vale 81 : x = 9.
Se usiamo il terzo prodotto notevole avremo la seguente fattorizzazione: x² - 81 = (x + 9) (x - 9).
Grazie alla scomposizione in fattori possiamo risolvere un'equazione con un numero intero, numeri relativi, frazioni e radici quadrate. Ora facciamo un passo avanti, e andiamo a vedere come fattorizzare un polinomio di secondo grado.
Lezioni di matematica: scomporre in fattori un polinomio di secondo grado
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Fattorizzare un trinomio di secondo grado significa riscrivere l'espressione di calcolo letterale sotto forma di un polinomio di primo grado.
Dati tre numeri reali a, b e c, dove a ≠ 0 e ∆ il discriminante del polinomio ax2 + bx + c.
La proprietà è la seguente: se x1 e x2 sono le radici di un polinomio di secondo grado ax² + bx + c, allora può essere fattorizzato nel seguente modo: a (x-x1) (x-x2).
Se x0 è l'unica radice di un polinomio di secondo grado ax² + bx + c, allora possiamo fattorizzare sotto forma di a (x-x0)².
Dato che la moltiplicazione (o il prodotto) di a (x-x0)² = a(x-x0)(x-x0) possiamo considerare x0 una radice doppia.
Possiamo dedurre il seguente teorema:
- Se ∆ = 0, il polinomio ax2 + bx + c ha una sola radice doppia x(0) = - (b/2a) e per ogni x reale, ax2 + bx + c = a (x - x0)².
- Se ∆ < 0, il polinomio ax2 + bx + c non può essere fattorizzato in ℝ,
- Se ∆ > 0, il polinomio ax2 + bx + c ammette le due radici distinte (x1) = (-b - √∆)/2a et (x2) = (-b + √∆)/2a e per ogni x reale, ax² + bx + c = a (x-x1) (x-x2).
Se c = 0, allora la forma fattorizzata dell'espressione ax² + bx + c diventa x (ax + b).
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